Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral . Essa questão está no tópico de Cálculo, mais especificamente em Integração por Substituição Trigonométrica. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que envolva funções trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa numa forma trigonométrica. Observamos que temos no denominador. Isso sugere que podemos usar a substituição , pois sabemos que .
Passo 3
Com a substituição , precisamos também mudar os limites de integração. Quando , temos , então . Quando , , então .
Passo 4
Agora, calculamos . Se , então . Vamos substituir tudo na integral:
Passo 5
Simplificando a expressão, as se cancelam:
Sabemos que , e a integral de é .
Passo 6
Então, integramos:
Agora, calculamos os valores de cot theta nos limites: