Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
a) integral12^raiz32 1x^2 raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral12^raiz32 1x^2 raiz1-x^2 dx. Essa questão está no tópico de Cálculo, mais especificamente em Integração por Substituição Trigonométrica. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que envolva funções trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que se encaixa numa forma trigonométrica. Observamos que temos raiz1 - x^2 no denominador. Isso sugere que podemos usar a substituição x = sin theta, pois sabemos que 1 - sin^2 theta = cos^2 theta.

Passo 3

Com a substituição x = sin theta, precisamos também mudar os limites de integração. Quando x = 12, temos sin theta = 12, então theta = pi6. Quando x = raiz32, sin theta = raiz32, então theta = pi3.

Passo 4

Agora, calculamos dx. Se x = sin theta, então dx = cos theta , dtheta. Vamos substituir tudo na integral:
integral12^raiz32 1x^2 raiz1-x^2 dx = integralpi6^pi3 1sin^2 theta cdot cos theta cdot cos theta , dtheta

Passo 5

Simplificando a expressão, as cos theta se cancelam:
integralpi6^pi3 1sin^2 theta dtheta
Sabemos que 1sin^2 theta = csc^2 theta, e a integral de csc^2 theta é -cot theta.

Passo 6

Então, integramos:
-cot theta |pi6^pi3
Agora, calculamos os valores de cot theta nos limites:
Para theta = pi3:
cot pi3 = 1tan pi3 = 1raiz3
Para theta = pi6:
cot pi6 = 1tan pi6 = raiz3

Passo 7

Substituindo os valores:
-( 1raiz3 - raiz3 ) = -( 1 - 3raiz3 ) = -( -2raiz3 ) = 2raiz3

Resposta

A integral avaliada é 2raiz3.

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