Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
f) integral 5 x raiz1+x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 5x raiz1 + x^2 , dx utilizando substituição trigonométrica. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais, substituições e identidades trigonométricas para simplificar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é 1 + x^2, que se assemelha à identidade trigonométrica 1 + tan^2theta = sec^2theta. Isso sugere que podemos usar a substituição trigonométrica x = tantheta para simplificar a integral.

Passo 3

Com a substituição x = tantheta, derivamos dx em relação a theta:
dx = sec^2theta , dtheta
Além disso, substituímos raiz1 + x^2:
raiz1 + x^2 = raiz1 + tan^2theta = sectheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral 5x raiz1 + x^2 , dx = integral 5 tantheta cdot sectheta cdot sec^2theta , dtheta = 5 integral tantheta cdot sec^3theta , dtheta
Agora, temos uma nova integral em termos de theta.

Passo 5

Para resolver integral tantheta cdot sec^3theta , dtheta, podemos usar a identidade tantheta = sinthetacostheta e sectheta = 1costheta. Contudo, uma abordagem mais direta é notar que a derivada de sectheta é sectheta tantheta, o que sugere uma substituição adicional.
Vamos definir:
u = sectheta du = sectheta tantheta , dtheta
Então, reescrevemos a integral:
5 integral tantheta cdot sec^3theta , dtheta = 5 integral sec^2theta cdot du = 5 integral u^2 , du

Passo 6

Integrando u^2 em relação a u:
5 integral u^2 , du = 5 cdot u^33 + C = 53 u^3 + C
Substituímos u = sectheta de volta:
53 sec^3theta + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = tantheta, então podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é x, o cateto adjacente é 1, e a hipotenusa é raiz1 + x^2. Assim, sectheta = raiz1 + x^21 = raiz1 + x^2.
Substituindo de volta:
53 (raiz1 + x^2)^3 + C = 53 (1 + x^2)^32 + C

Resposta

A integral integral 5x raiz1 + x^2 , dx é igual a 53 (1 + x^2)^32 + C, onde C é a constante de integração.

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