Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
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Passo 1
Vamos resolver a integral
utilizando substituição trigonométrica. Vamos precisar de conhecimentos sobre integrais, substituições e identidades trigonométricas para simplificar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
, que se assemelha à identidade trigonométrica
. Isso sugere que podemos usar a substituição trigonométrica
para simplificar a integral.
Passo 3
Com a substituição
, derivamos
em relação a
:
Além disso, substituímos
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Agora, temos uma nova integral em termos de
.
Passo 5
Para resolver
, podemos usar a identidade
e
. Contudo, uma abordagem mais direta é notar que a derivada de
é
, o que sugere uma substituição adicional.
Vamos definir:
Então, reescrevemos a integral:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Substituímos
de volta:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é
, o cateto adjacente é 1, e a hipotenusa é
. Assim,
.
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.