Calcule a integral, utilizando integrais trigonométricas
h) integral tg^3 x cdot sec ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas básicas e técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Mas, pra facilitar nossa vida, vamos usar uma identidade importante: . Isso vai ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando essa identidade:
integral tan^3 x cdot sec^3 x , dx = integral tan x cdot tan^2 x cdot sec^3 x , dx = integral tan x cdot (sec^2 x - 1) cdot sec^3 x , dx

Passo 4

Agora, distribuímos integral tan x cdot sec^5 x , dx - integral tan x cdot sec^3 x , dx dentro do parêntese:
I = I1 - I2
Vamos chamar essas duas integrais de e respectivamente:

Passo 5

Vamos resolver I1 = integral sec^4 x cdot du = integral u^4 cdot du = u^55 + C = sec^5 x5 + C . Vamos usar substituição:
  • Seja , então .
    Reescrevendo :

Passo 6

Agora, resolvemos I2 = integral sec^2 x cdot du = integral u^2 cdot du = u^33 + C = sec^3 x3 + C usando o mesmo método:
  • Seja , então .
    Reescrevendo :

Passo 7

Agora, substituímos I = sec^5 x5 - sec^3 x3 + C e na expressão original:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral sec^5 x5 - sec^3 x3 + C é igual a:

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