Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
h) integral e^t raiz9-e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Esse exercício envolve cálculo de integrais usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções trigonométricas e substituições que facilitam a integração de expressões que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo u = e^t implies du = e^t dt implies dt = duu . Isso ajuda a tornar a integral mais fácil de resolver. Com essa substituição:
integral e^t raiz9 - e^2 t , dt = integral u raiz9 - u^2 cdot duu = integral raiz9 - u^2 , du
Agora, substituímos na integral original:

Passo 3

Agora, precisamos resolver u = 3 sin theta implies du = 3 cos theta , dtheta . Esse tipo de integral se beneficia da substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição integral raiz9 - (3 sin theta)^2 cdot 3 cos theta , dtheta = integral raiz9 - 9 sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta , porque isso simplifica a raiz quadrada:
Substituindo na integral:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = raiz9 cos^2 theta = 3 cos theta
Então, a integral fica:
integral 3 cos theta cdot 3 cos theta , dtheta = 9 integral cos^2 theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 . Usamos a identidade trigonométrica:
9 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 92 integral (1 + cos 2theta) , dtheta = 92 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Portanto:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sin theta = u3 implies theta = arcsin ( u3 ) e depois para theta = arcsin ( e^t3 ) . Lembrando que , então:
E como , temos:
Além disso, (\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{u}{3} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{u}{3} \right)^{2}} = \frac{2u}{3} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{9}} = \frac{2 e^{t}}{3} \sqrt{1 - \frac{e^{2t}}{9}} = \frac{2 e^{t}}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 - e^{2t}}}{3} = \frac{2 e^{t} \sqrt{9 - e^{2t}}}{9}
]

Passo 7

Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
92 ( arcsin ( e^t3 ) + 12 cdot 2 e^t raiz9 - e^2t9 ) + C = 92 arcsin ( e^t3 ) + e^t raiz9 - e^2t2 + C

Resposta

A integral 92 arcsin ( e^t3 ) + e^t raiz9 - e^2t2 + C é igual a:

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