Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício envolve cálculo de integrais usando substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades das funções trigonométricas e substituições que facilitam a integração de expressões que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão substituindo
. Isso ajuda a tornar a integral mais fácil de resolver. Com essa substituição:
Agora, substituímos na integral original:
Passo 3
Agora, precisamos resolver
. Esse tipo de integral se beneficia da substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição
, porque isso simplifica a raiz quadrada:
Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
e depois para
. Lembrando que
, então:
E como
, temos:
Além disso, (\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{u}{3} \cdot \sqrt{1 - \left( \frac{u}{3} \right)^{2}} = \frac{2u}{3} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{9}} = \frac{2 e^{t}}{3} \sqrt{1 - \frac{e^{2t}}{9}} = \frac{2 e^{t}}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 - e^{2t}}}{3} = \frac{2 e^{t} \sqrt{9 - e^{2t}}}{9}
]
]
Passo 7
Substituindo tudo de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a: