Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método das cascas cilíndricas e aplicar algumas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos:
-
→ Podemos reescrever como . -
→ É o eixo .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que será rotacionada.
Passo 3
Desenhando as curvas:
- A curva
é uma parábola que abre para a esquerda. - A linha
é o eixo .
Encontramos os pontos de interseção igualando
:
Portanto, a região está entre
e
.
Passo 4
Agora, aplicando o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo vertical ou quando integrando em relação a
. A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndicas em torno do eixo
é:
onde:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação, -
é a largura da casca.
Passo 5
Identificando
na nossa situação. A largura da casca é a diferença entre
da curva
e
:
Então, a fórmula para o volume fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral para o volume é:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo
para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.