Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y^2 - 6y + x = 0, x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método das cascas cilíndricas e aplicar algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos:
  1. → Podemos reescrever como .
  2. → É o eixo .
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que será rotacionada.

Passo 3

Desenhando as curvas:
  • A curva é uma parábola que abre para a esquerda.
  • A linha é o eixo .
Encontramos os pontos de interseção igualando :
Portanto, a região está entre e .

Passo 4

Agora, aplicando o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno do eixo vertical ou quando integrando em relação a . A fórmula geral para o volume usando cascas cilíndicas em torno do eixo é:
onde:
  • é a distância da casca ao eixo de rotação,
  • é a largura da casca.

Passo 5

Identificando na nossa situação. A largura da casca é a diferença entre da curva e :
Então, a fórmula para o volume fica:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral para o volume é:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando nos limites:

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo para encontrar o volume:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo é unidades cúbicas.

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