Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
d) integral d xx raizx^2+3

Passo 1

Então, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos uma expressão da forma x = raiz3 tan theta , onde . Nesse caso, uma boa substituição trigonométrica é . Então, vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a raiz quadrada na integral.

Passo 3

Agora, calculamos dx = raiz3 sec^2 theta , dtheta em termos de integral raiz3 sec^2 theta , dthetaraiz3 tan theta cdot raiz(raiz3 tan theta)^2 + 3 :
Substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
(raiz3 tan theta)^2 + 3 = 3 tan^2 theta + 3 = 3(tan^2 theta + 1) = 3 sec^2 theta
Portanto, a raiz se torna:
raiz3 sec^2 theta = raiz3 sec theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral raiz3 sec^2 theta , dthetaraiz3 tan theta cdot raiz3 sec theta = integral sec^2 thetatan theta sec theta , dtheta
Simplificando:
integral sec thetatan theta , dtheta

Passo 6

Sabemos que sec thetatan theta = 1/cos thetasin theta / cos theta = 1sin theta = csc theta e integral csc theta , dtheta , então:
Portanto, a integral se torna:

Passo 7

A integral de integral csc theta , dtheta = ln |tan (theta/2)| + C é conhecida:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original tan theta = xraiz3 Rightarrow theta = arctan ( xraiz3 ) . Lembrando que fizemos a substituição tan (theta/2) = sin theta1 + cos theta = xraizx^2 + 31 + raiz3raizx^2 + 3 = xraizx^2 + 3 + raiz3 , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
Usando identidades trigonométricas, temos:

Resposta

Portanto, a integral ln | xraizx^2 + 3 + raiz3 | + C é igual a:

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