Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
d)
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Passo 1
Então, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral faz parte do cálculo integral, especificamente envolvendo substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos uma expressão da forma
, onde
. Nesse caso, uma boa substituição trigonométrica é
. Então, vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a raiz quadrada na integral.
Passo 3
Agora, calculamos
em termos de
:
Substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Portanto, a raiz se torna:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Simplificando:
Passo 6
Sabemos que
e
, então:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
A integral de
é conhecida:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
Usando identidades trigonométricas, temos:
Resposta
Portanto, a integral
é igual a: