Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
b) integral xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte do cálculo integral, onde usamos trigonometria para facilitar integrais que têm expressões como raízes quadradas envolvendo polinômios. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Olhando para a expressão x = sin theta , percebemos que ela se encaixa na identidade . Podemos deixar , então:

Passo 3

Com essa substituição, vamos derivar dx = cos theta , dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora, substituímos integral sin thetaraiz1 - sin^2 theta cdot cos theta , dtheta e integral sin thetacos theta cdot cos theta , dtheta = integral sin theta , dtheta na integral original:
Sabemos que , então a raiz quadrada fica . Então, a integral simplifica para:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral sin theta , dtheta = -cos theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Precisamos voltar para a variável original -cos theta + C = -raiz1 - x^2 + C . Lembrando que fizemos , podemos usar a relação . Portanto:

Resposta

A integral é igual a .

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