Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
g) integral d xraizx^2+4 x+8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e aplicar uma substituição trigonométrica apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão x^2 + 4x + 8 = (x^2 + 4x + 4) + 4 = (x + 2)^2 + 4 . Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão sob a raiz para uma forma que a substituição trigonométrica pode ser aplicada facilmente.
integral dxraiz(x + 2)^2 + 4
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Observamos que temos algo da forma u = a tan theta Rightarrow x + 2 = 2 tan theta , onde dx = 2 sec^2 theta , dtheta e . Para esse tipo de expressão, usamos a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral 2 sec^2 theta , dthetaraiz(2 tan theta)^2 + 4 = integral 2 sec^2 theta , dthetaraiz4 tan^2 theta + 4 = integral 2 sec^2 theta , dthetaraiz4 (tan^2 theta + 1) e raiz4 sec^2 theta = 2 sec theta na integral, temos:
integral 2 sec^2 theta , dtheta2 sec theta = integral sec theta , dtheta
Sabendo que :
Então, a integral simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos integrar integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C . A integral de é uma integral padrão:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos voltar para a variável original sec theta = HipotenusaAdjacente = raizx^2 + 4x + 82 . Lembrando que fizemos a substituição tan theta = OpostoAdjacente = x + 22 , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar ln | raizx^2 + 4x + 82 + x + 22 | + C = ln | raizx^2 + 4x + 8 + x + 22 | + C e ln | raizx^2 + 4x + 8 + x + 2 | + C em termos de .
No triângulo:
  • O cateto oposto é .
  • O cateto adjacente é 2.
  • A hipotenusa é .
Então:
Substituindo de volta na solução da integral:
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo-a na constante :

Resposta

integral dxraizx^2+4x+8 = ln | raizx^2 + 4x + 8 + x + 2 | + C

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