Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando substituição trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de uma raiz. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e aplicar uma substituição trigonométrica apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão . Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão sob a raiz para uma forma que a substituição trigonométrica pode ser aplicada facilmente.
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Observamos que temos algo da forma , onde e . Para esse tipo de expressão, usamos a substituição:
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Passo 4
Substituindo e na integral, temos:
Sabendo que :
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos integrar . A integral de é uma integral padrão:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar e em termos de .
No triângulo:
O cateto oposto é .
O cateto adjacente é 2.
A hipotenusa é .
Então:
Substituindo de volta na solução da integral:
Podemos simplificar a constante multiplicativa dentro do logaritmo absorvendo-a na constante :
Resposta
integral dxraizx^2+4x+8 = ln | raizx^2 + 4x + 8 + x + 2 | + C