Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes:
c) integral2^infty 1raizx+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Nosso objetivo é determinar se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (cresce para infinito). Se ela convergir, vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa, onde o limite de integração vai até o infinito, pode ser avaliada transformando-a em um limite. Assim, escrevemos:
integral2^infty 1raizx+3 , dx = limb to infty integral2^b 1raizx+3 , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral definida integral (x+3)^-1/2 , dx = 2raizx+3 + C . Sabemos que , e a integral de é mais a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a integral2^b 1raizx+3 , dx = 2raizb+3 - 2raiz2+3 = 2raizb+3 - 2raiz5 :

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite quando limb to infty (2raizb+3 - 2raiz5) = limb to infty 2raizb+3 - 2raiz5 tende ao infinito:
limb to infty 2raizb+3 = infty
Sabemos que à medida que limb to infty (2raizb+3 - 2raiz5) = infty cresce, também cresce sem limite, então:
Portanto,

Resposta

A integral diverge.

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