Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então, calcule a área da região.
a) y = 4x^2, y = x^2 + 3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas: e . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Precisamos esboçar as curvas para visualizar a região delimitada e decidir se é melhor integrar em relação a ou a . Depois, calculamos a área da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Agora, substituímos e em uma das equações para encontrar os valores de :
Para :
Para :
Os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo . Escolhemos um valor de dentro deste intervalo, por exemplo, :
Para :
Para :
Vemos que está acima de no intervalo considerado.
Portanto, para calcular a área entre as curvas, podemos integrar em relação a de a , subtraindo a curva de baixo da curva de cima.

Passo 4

Configurando a integral para a área:
Á
Resolvendo a integral:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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