Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então, calcule a área da região.
a)
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas curvas:
e
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Precisamos esboçar as curvas para visualizar a região delimitada e decidir se é melhor integrar em relação a
ou a
. Depois, calculamos a área da região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Agora, substituímos
e
em uma das equações para encontrar os valores de
:
Para
:
Para
:
Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar qual das duas curvas está acima da outra no intervalo
. Escolhemos um valor de
dentro deste intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Vemos que
está acima de
no intervalo considerado.
Portanto, para calcular a área entre as curvas, podemos integrar em relação a
de
a
, subtraindo a curva de baixo da curva de cima.
Passo 4
Configurando a integral para a área:
Resolvendo a integral:
Resposta
A área da região é
unidades quadradas.