Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
d) y = 4 - x^2, y = x + 2, x = -3, x = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas , , e . Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
  1. : Essa é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto (0,4).
  2. : É uma reta que sobe, interceptando o eixo y no ponto (0,2).
  3. e : Essas são retas verticais que interceptam o eixo x nos pontos -3 e 0, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para saber onde elas se encontram:
Igualamos e :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Calculando os valores de y:
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são (1,3) e (-2,0).

Passo 4

Vamos esboçar as curvas no intervalo de a , já que é uma das restrições. Observamos que dentro desse intervalo, a parábola está acima da reta.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo determinado. A fórmula para a área entre duas curvas e , onde , de a é:

Passo 6

No nosso caso, e . Os limites de integração são de a (já que está fora do intervalo de interseção das curvas).
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 8

Calculando a área:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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