Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Depois, vamos calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
-
: Essa é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto (0,4). -
: É uma reta que sobe, interceptando o eixo y no ponto (0,2). -
e : Essas são retas verticais que interceptam o eixo x nos pontos -3 e 0, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para saber onde elas se encontram:
Igualamos
e
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Calculando os valores de y:
- Para
: - Para
:
Então, os pontos de interseção são (1,3) e (-2,0).
Passo 4
Vamos esboçar as curvas no intervalo de
a
, já que
é uma das restrições. Observamos que dentro desse intervalo, a parábola está acima da reta.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo determinado. A fórmula para a área
entre duas curvas
e
, onde
, de
a
é:
Passo 6
No nosso caso,
e
. Os limites de integração são de
a
(já que
está fora do intervalo de interseção das curvas).
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Calculando a área:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.