Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
c) integral0^2 x^3raizx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2 usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos precisar usar trigonometria para simplificar a integral antes de resolvê-la. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão x = a tan theta = 2 tan theta , percebemos que ela se parece com , onde . Nesse caso, uma boa substituição é:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada na integral.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 2 sec^2 theta , dtheta em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo integral0^2 x^3raizx^2+4 dx = integraltheta1^theta2 (2 tan theta)^3raiz(2 tan theta)^2 + 4 cdot 2 sec^2 theta , dtheta e raiz4 tan^2 theta + 4 = raiz4 (tan^2 theta + 1) = raiz4 sec^2 theta = 2 sec theta na integral original:
Vamos simplificar o denominador:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integraltheta1^theta2 8 tan^3 theta2 sec theta cdot 2 sec^2 theta , dtheta = integraltheta1^theta2 8 tan^3 theta cdot sec theta , dtheta
Simplificando:
8 integraltheta1^theta2 tan^3 theta cdot sec theta , dtheta

Passo 6

Vamos lembrar que 8 integral tan theta (sec^2 theta - 1) sec theta , dtheta = 8 integral (tan theta sec^3 theta - tan theta sec theta) , dtheta . Então, podemos reescrever como . Assim:

Passo 7

Vamos resolver as duas integrais separadamente:
  1. integral tan theta sec theta , dtheta = sec theta + C
Para a primeira integral, usamos substituição: deixe , então . Mas isso não simplifica diretamente, então podemos usar integração por partes ou outras técnicas avançadas. No entanto, para simplificar, vamos focar na segunda integral primeiro.
Para a segunda integral:

Passo 8

Voltando à primeira integral, ela pode ser resolvida usando a identidade integral tan theta sec^3 theta , dtheta = integral tan theta sec theta (sec^2 theta) , dtheta :
integral u^2 , du = u^33 + C = sec^3 theta3 + C
Deixe , então :

Passo 9

Agora, juntando as integrais:
8 ( sec^3 theta3 - sec theta ) + C

Passo 10

Voltando para o , lembrando que e vai de a quando .
Substituindo os limites de integração e simplificando, obtemos o valor final da integral.

Resposta

Após realizar a substituição trigonométrica e simplificar, a integral definida de 16 raiz83 - 8 raiz8 = 16 cdot 2 raiz23 - 8 cdot 2 raiz2 = 32 raiz23 - 16 raiz2 = 32 raiz2 - 48 raiz23 = -16 raiz23 de 0 a 2 é igual a:
Portanto, o valor da integral é .

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