Calcule a integral utilizando substituição trigonométrica.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 2 usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos precisar usar trigonometria para simplificar a integral antes de resolvê-la. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão
, percebemos que ela se parece com
, onde
. Nesse caso, uma boa substituição é:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a raiz quadrada na integral.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Vamos simplificar o denominador:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
Passo 6
Vamos lembrar que
. Então, podemos reescrever
como
. Assim:
Passo 7
Vamos resolver as duas integrais separadamente:
Para a primeira integral, usamos substituição: deixe
, então
. Mas isso não simplifica diretamente, então podemos usar integração por partes ou outras técnicas avançadas. No entanto, para simplificar, vamos focar na segunda integral primeiro.
Para a segunda integral:
Passo 8
Voltando à primeira integral, ela pode ser resolvida usando a identidade
:
Deixe
, então
:
Passo 9
Agora, juntando as integrais:
Passo 10
Voltando para o
, lembrando que
e
vai de
a
quando
.
Substituindo os limites de integração e simplificando, obtemos o valor final da integral.
Resposta
Após realizar a substituição trigonométrica e simplificar, a integral definida de
de 0 a 2 é igual a:
Portanto, o valor da integral é
.