Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada:
y = cos(x), y = 0, x = 0, x = pi/2 em torno de y = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas , , e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos/aneles, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método que vamos usar. O método dos discos é ideal quando o sólido pode ser dividido em fatias circulares perpendiculares ao eixo de rotação. Já o método dos anéis (ou de discos com furo) é usado quando há um espaço vazio no meio do sólido. No nosso caso, como estamos girando em torno de , que não passa pela curva , teremos uma região vazia no meio. Então, vamos usar o método dos anéis.

Passo 3

Vamos desenhar as curvas para visualizar melhor. A curva varia de 1 a 0 no intervalo de a . Quando giramos essa região em torno de , cada “anel” terá uma área formada pela diferença entre dois círculos: um externo e um interno.
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
onde:
  • é o raio externo (distância de até ),
  • é o raio interno (distância de até ),
  • e são os limites de integração (no nosso caso, e ).

Passo 4

Vamos identificar e :
  • O raio externo é a distância entre e , que é .
  • O raio interno é a distância entre e , que é .
Agora, substituindo na fórmula:
Vamos expandir :
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados