Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada:
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas
,
,
e
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos/aneles, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método que vamos usar. O método dos discos é ideal quando o sólido pode ser dividido em fatias circulares perpendiculares ao eixo de rotação. Já o método dos anéis (ou de discos com furo) é usado quando há um espaço vazio no meio do sólido. No nosso caso, como estamos girando em torno de
, que não passa pela curva
, teremos uma região vazia no meio. Então, vamos usar o método dos anéis.
Passo 3
Vamos desenhar as curvas para visualizar melhor. A curva
varia de 1 a 0 no intervalo de
a
. Quando giramos essa região em torno de
, cada “anel” terá uma área formada pela diferença entre dois círculos: um externo e um interno.
A fórmula para o volume usando o método dos anéis é:
onde:
-
é o raio externo (distância de até ), -
é o raio interno (distância de até ), -
e são os limites de integração (no nosso caso, e ).
Passo 4
Vamos identificar
e
:
- O raio externo
é a distância entre e , que é . - O raio interno
é a distância entre e , que é .
Agora, substituindo na fórmula:
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.