Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
a)
; em torno do eixo
.
Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
a)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites da região que vamos rotacionar. As curvas
e
(o eixo
) se interceptam quando
. Substituindo
na equação, temos
, o que implica
. Portanto, a região está limitada entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em função de
para facilitar a integração. A equação
pode ser escrita como:
Isso significa que a altura do disco em cada ponto
é
.
Passo 4
Vamos aplicar o método dos discos para calcular o volume. Esse método envolve integrar a área de discos infinitamente finos que, quando somados, dão o volume total do sólido. A área de cada disco é:
Portanto, o volume
é a integral desta área de
a
:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
A integral de
em relação a
é:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.