Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
a) y^2 = x^3, x = 4, y = 0; em torno do eixo x.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites da região que vamos rotacionar. As curvas e (o eixo ) se interceptam quando . Substituindo na equação, temos , o que implica . Portanto, a região está limitada entre e .

Passo 3

Agora, vamos expressar em função de para facilitar a integração. A equação pode ser escrita como:
Isso significa que a altura do disco em cada ponto é .

Passo 4

Vamos aplicar o método dos discos para calcular o volume. Esse método envolve integrar a área de discos infinitamente finos que, quando somados, dão o volume total do sólido. A área de cada disco é:
Portanto, o volume é a integral desta área de a :

Passo 5

Vamos calcular a integral:
A integral de em relação a é:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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