Encontre a área da região delimitada pelas curvas 4x + y^2 = 0 e y = 2 x + 4, por dois métodos:
b)integrando com relação a y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas e . O conteúdo aqui é sobre cálculo de áreas entre curvas usando integração, especificamente integrando em relação a . Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas, expressar em função de e depois configurar a integral adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver o sistema de equações:
Substituindo na primeira equação:
Vamos simplificar isso para encontrar os valores de e onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Expandindo a equação:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática pelo método de fatoração:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de usando .

Passo 5

Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora, precisamos expressar em função de para ambas as curvas, já que vamos integrar em relação a .
Da curva :
Da reta :

Passo 7

Com expresso em função de , podemos visualizar que, para cada valor de na região de integração, a reta está à direita da parábola. Então, a integral para a área será a diferença entre as funções de da reta e da parábola, integrada de a .

Passo 8

A fórmula para a área é:
á
Substituindo as expressões de :
Simplificando dentro da integral:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:

Passo 10

Calculando cada integral:
Então, a área fica:

Passo 11

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 12

Calculando a diferença:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.

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