Encontre a área da região delimitada pelas curvas
e
, por dois métodos:
b)integrando com relação a y.
b)integrando com relação a y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo aqui é sobre cálculo de áreas entre curvas usando integração, especificamente integrando em relação a
. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas, expressar
em função de
e depois configurar a integral adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver o sistema de equações:
Substituindo
na primeira equação:
Vamos simplificar isso para encontrar os valores de
e
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Expandindo a equação:
Dividindo todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
pelo método de fatoração:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
usando
.
Passo 5
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora, precisamos expressar
em função de
para ambas as curvas, já que vamos integrar em relação a
.
Da curva
:
Da reta
:
Passo 7
Com
expresso em função de
, podemos visualizar que, para cada valor de
na região de integração, a reta está à direita da parábola. Então, a integral para a área será a diferença entre as funções de
da reta e da parábola, integrada de
a
.
Passo 8
A fórmula para a área
é:
Substituindo as expressões de
:
Simplificando dentro da integral:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Simplificando:
Passo 10
Calculando cada integral:
Então, a área fica:
Passo 11
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 12
Calculando a diferença:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é 9 unidades quadradas.