Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
c) y = x^2 + 3, y = x, x = -1, x = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas , , e , e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral. O que vamos precisar é entender como as curvas se comportam e como calcular a área entre elas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada uma dessas curvas se comporta:
  • é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  • é uma parábola que abre para cima e está deslocada 3 unidades para cima.
  • e são linhas verticais que vão cortar o plano nos pontos onde é -1 e 1, respectivamente.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que queremos delimitar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Vamos calcular o discriminante :
Como , não há pontos de interseção reais entre essas duas curvas. Isso significa que a reta está sempre abaixo da parábola nesse intervalo.

Passo 4

Sabendo que não há interseção entre as curvas e , e que estamos limitando entre -1 e 1, podemos determinar que a área entre essas curvas será a diferença entre a parábola e a reta ao longo desse intervalo.
A fórmula para calcular a área entre duas curvas e de a é:
Á
Nesse caso, e . Os limites de integração são e .

Passo 5

Vamos configurar a integral para calcular a área:
Á
Agora, vamos resolver essa integral:
Avaliamos essa antiderivada de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas , , e é unidades de área.

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