Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
, e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral. O que vamos precisar é entender como as curvas se comportam e como calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada uma dessas curvas se comporta:
-
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. -
é uma parábola que abre para cima e está deslocada 3 unidades para cima. -
e são linhas verticais que vão cortar o plano nos pontos onde é -1 e 1, respectivamente.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região que queremos delimitar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Vamos calcular o discriminante
:
Como
, não há pontos de interseção reais entre essas duas curvas. Isso significa que a reta
está sempre abaixo da parábola
nesse intervalo.
Passo 4
Sabendo que não há interseção entre as curvas
e
, e que estamos limitando
entre -1 e 1, podemos determinar que a área entre essas curvas será a diferença entre a parábola e a reta ao longo desse intervalo.
A fórmula para calcular a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Nesse caso,
e
. Os limites de integração são
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral para calcular a área:
Agora, vamos resolver essa integral:
Avaliamos essa antiderivada de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
é
unidades de área.