(CICE-68)S eja y(x) uma função cuja primeira derivada vale y' = 15 x^2 - 6 x + 2. Sabendo que y(1) = 5, y(x) é igual a:
a) 3 x^2 + 2 x
b) 3 x^3 - 2 x + 4 c) 5 x^3 - 3 x^2 + 2 x + 1
d) 5 x^3 - 3 x^2 + x + 2
e) 5x^3 - 3x^2 + 2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá a primeira derivada de uma função , que é . Nosso objetivo é encontrar a função completa, sabendo que quando , . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, para encontrar , precisamos integrar a derivada . A integração nos ajuda a recuperar a função original a partir de sua derivada. Então, vamos calcular:

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
Somando tudo isso, temos:
Onde é a constante de integração que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial que foi dada: . Vamos substituir e na equação que encontramos:
Simplificando:
Então, isolando :

Resposta

A função é igual a . Portanto, a opção correta é:
c)

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