Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
b)
b)
Passo 1
Estamos resolvendo um exercício de Cálculo que pede para esboçar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
, e encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas e calcular integrais para determinar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as curvas
e
se interceptam. Isso significa encontrar os valores de
que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 3
Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Rearranjando a equação para trazê-la para a forma padrão:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo esses valores:
Portanto, as soluções são:
Passo 6
Os pontos de interseção são
e
. Porém, considerando os limites adicionais
e
, vamos analisar a área entre
e
, dividindo em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 7
Vamos determinar qual função está por cima em cada intervalo.
Para
:
Escolhemos
:
Aqui,
está acima de
.
Para
:
Escolhemos
:
Neste intervalo,
está acima de
.
Passo 8
Agora, vamos configurar as integrais para calcular a área em cada intervalo.
Para
:
Para
:
Passo 9
Vamos calcular a primeira integral:
Calculando em
:
Em
:
Portanto:
Passo 10
Agora, calculamos a segunda integral:
Calculando em
:
Em
:
Portanto:
Passo 11
Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região delimitada:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.