Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
b) y = x^2 + 2, y = 2x + 5, x = 0, x = 6

Passo 1

Estamos resolvendo um exercício de Cálculo que pede para esboçar a região delimitada pelas curvas , , e , e encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas e calcular integrais para determinar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as curvas e se interceptam. Isso significa encontrar os valores de que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 3

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Rearranjando a equação para trazê-la para a forma padrão:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo esses valores:
Portanto, as soluções são:

Passo 6

Os pontos de interseção são e . Porém, considerando os limites adicionais e , vamos analisar a área entre e , dividindo em duas partes: de a e de a .

Passo 7

Vamos determinar qual função está por cima em cada intervalo.
Para :
Escolhemos :
Aqui, está acima de .
Para :
Escolhemos :
Neste intervalo, está acima de .

Passo 8

Agora, vamos configurar as integrais para calcular a área em cada intervalo.
Para :
Á
Para :
Á

Passo 9

Vamos calcular a primeira integral:
Á
Calculando em :
Em :
Portanto:
Á

Passo 10

Agora, calculamos a segunda integral:
Á
Calculando em :
Em :
Portanto:
Á

Passo 11

Finalmente, somamos as duas áreas para obter a área total da região delimitada:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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