Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então, calcule a área da região.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Isso está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas, usando integrais. Para resolver, vamos decidir se integramos em relação a
ou a
, dependendo de qual abordagem simplifica mais os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
-
: Essa é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. Para , a curva está no primeiro quadrante. -
: É o eixo . -
e : São linhas horizontais que cortam a hipérbole.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região delimitada.
Passo 3
Ao observar as curvas, percebemos que a região limitada está entre
e
na vertical, e a hipérbole
na lateral direita, com
como a lateral esquerda.
Para calcular a área dessa região, é mais fácil integrar em relação a
, porque podemos expressar
em função de
a partir da equação da hipérbole.
Passo 4
Resolvendo
para
, temos:
Isso nos permite expressar
em função de
, facilitando a integração em relação a
.
Passo 5
Agora, identificamos os limites de integração. Como queremos a área entre
e
, nossos limites de integração serão de
a
.
A área
é dada por:
Aqui, subtraímos
de
para obter a largura da região em cada nível de
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
A integral de
em relação a
é
.
Portanto:
Como
, fica:
Resposta
A área da região delimitada é
unidades de área.