Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Então, calcule a área da região.
c) y = 1/x' x = 0, y = 1, y = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas , , e . Isso está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas, usando integrais. Para resolver, vamos decidir se integramos em relação a ou a , dependendo de qual abordagem simplifica mais os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas:
  1. : Essa é uma hipérbole que fica no primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano. Para , a curva está no primeiro quadrante.
  2. : É o eixo .
  3. e : São linhas horizontais que cortam a hipérbole.
Vamos esboçar essas curvas para visualizar a região delimitada.

Passo 3

Ao observar as curvas, percebemos que a região limitada está entre e na vertical, e a hipérbole na lateral direita, com como a lateral esquerda.
Para calcular a área dessa região, é mais fácil integrar em relação a , porque podemos expressar em função de a partir da equação da hipérbole.

Passo 4

Resolvendo para , temos:
Isso nos permite expressar em função de , facilitando a integração em relação a .

Passo 5

Agora, identificamos os limites de integração. Como queremos a área entre e , nossos limites de integração serão de a .
A área é dada por:
Aqui, subtraímos de para obter a largura da região em cada nível de .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
A integral de em relação a é .
Portanto:
Como , fica:

Resposta

A área da região delimitada é unidades de área.

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