(1.5) Calcule a integral, sem utilizar técnicas de integração, apenas interpretando-a em termos de áreas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O que a questão pede é calcular essa integral sem usar técnicas complicadas de integração, mas sim interpretando a integral como áreas sob curvas. Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas de figuras geométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes para facilitar a visualização:
Assim, temos três áreas diferentes para calcular.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: . A função é uma reta que passa pela origem. Quando calculamos a área entre e , percebemos que a área positiva de cancela a área negativa de , então essa integral é zero.

Passo 4

Agora, a segunda parte: . Aqui, a função é uma linha horizontal em . A área sob essa linha entre e é um retângulo com base (de a ) e altura . Então, a área é:

Passo 5

Por fim, a terceira parte: . Essa função representa a semicircunferência superior de um círculo com raio . A área de um círculo completo é , então a área da semicircunferência é metade disso:

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função paralela(s) à reta dada:
.
Determine a derivada:
.
(5.0) Resolva as seguintes integrais
(b) (1.0)
(2.0) Esboce a região delimitada pelas curvas abaixo e encontre sua área.