(1.5) Calcule a integral, sem utilizar técnicas de integração, apenas interpretando-a em termos de áreas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. O que a questão pede é calcular essa integral sem usar técnicas complicadas de integração, mas sim interpretando a integral como áreas sob curvas. Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas de figuras geométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em partes para facilitar a visualização:
Assim, temos três áreas diferentes para calcular.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
. A função
é uma reta que passa pela origem. Quando calculamos a área entre
e
, percebemos que a área positiva de
cancela a área negativa de
, então essa integral é zero.
Passo 4
Agora, a segunda parte:
. Aqui, a função é uma linha horizontal em
. A área sob essa linha entre
e
é um retângulo com base
(de
a
) e altura
. Então, a área é:
Passo 5
Por fim, a terceira parte:
. Essa função representa a semicircunferência superior de um círculo com raio
. A área de um círculo completo é
, então a área da semicircunferência é metade disso:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
.
Determine a derivada:
.
(5.0) Resolva as seguintes integrais
(b) (1.0)
(b) (1.0)
(2.0) Esboce a região delimitada pelas curvas abaixo e encontre sua área.