(1.5) Calcule a integral, sem utilizar técnicas de integração, apenas interpretando-a em termos de áreas.
integral-5^5(2 x+2-raiz25-x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . O que a questão pede é calcular essa integral sem usar técnicas complicadas de integração, mas sim interpretando a integral como áreas sob curvas. Vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas de figuras geométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes para facilitar a visualização:
integral-5^5 2x , dx + integral-5^5 2 , dx - integral-5^5 raiz25 - x^2 , dx
Assim, temos três áreas diferentes para calcular.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: . A função é uma reta que passa pela origem. Quando calculamos a área entre e , percebemos que a área positiva de cancela a área negativa de , então essa integral é zero.

Passo 4

Agora, a segunda parte: 2 times (5 - (-5)) = 2 times 10 = 20 . Aqui, a função é uma linha horizontal em . A área sob essa linha entre e é um retângulo com base (de a ) e altura . Então, a área é:

Passo 5

Por fim, a terceira parte: 12 times pi times 5^2 = 25pi2 . Essa função representa a semicircunferência superior de um círculo com raio . A área de um círculo completo é , então a área da semicircunferência é metade disso:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
0 + 20 - 25pi2 = 20 - 25pi2

Resposta

A integral é igual a .

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