(2.0) Esboce a região delimitada pelas curvas abaixo e encontre sua área.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente desenhar a região formada pelas curvas
e
, e depois calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender onde essas duas curvas se cruzam e qual delas está por cima no intervalo de interseção. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando
é igual a
. Então, vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos saber qual delas está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
, e comparar os valores de
:
Para
:
Para
:
Como
, a curva
está acima da curva
nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre elas de
a
. A fórmula para a área
é:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
(5.0) Resolva as seguintes integrais
(b) (1.0)
(b) (1.0)
(1.5) Calcule a integral, sem utilizar técnicas de integração, apenas interpretando-a em termos de áreas.
Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
b)
b)
Calcule o valor de cada uma das integrais a seguir.
h)
h)