Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) paralela(s) à reta r dada:
f(x) = 4 x^2 - 5 r: y = 4 x + 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o problema. Precisamos encontrar a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função que sejam paralelas à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das tangentes de uma função.

Passo 2

Sabemos que duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta é o coeficiente de , que é 4. Portanto, queremos encontrar os pontos em que a inclinação da tangente à função também é 4.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da tangente à função , precisamos calcular a derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Agora, igualamos a derivada à inclinação da reta para encontrar os pontos onde as tangentes são paralelas a :
Resolvendo para :

Passo 5

Encontramos o valor de onde a inclinação da tangente é 4. Agora, vamos encontrar o ponto correspondente na função para determinar o ponto de tangência.
Substituímos em :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 6

Com o ponto de tangência e a inclinação da tangente , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de que é paralela à reta é:

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