Nos exercícios 19 a 22 identifique as equaçōes do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli:
constante real]
[lembrando, tipo Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar a equação do tipo Bernoulli e resolvê-la. Estamos falando de equações diferenciais que têm a forma:
Aqui,
é uma constante real. Para resolver esse tipo de equação, precisamos reconhecer seus componentes e aplicar um método específico de resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação dada para que ela fique na forma padrão de uma equação de Bernoulli. A equação que temos é:
Vamos dividir ambos os lados por
para obter
:
Então, isolando
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação:
Comparando com a forma de Bernoulli:
Aqui, temos:
Então, confirmamos que é uma equação de Bernoulli com
.
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Vamos calcular
:
Agora, substituímos
da equação original:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Mas, como
, substituímos:
Isso resulta em uma equação linear para
:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação linear. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Vamos resolver a integral:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, usamos integração por partes:
Portanto, a integral completa fica:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
para resolver para
:
Simplificando:
Passo 9
Lembrando que
, então:
Isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere o P.V.I
Encontre o valor de
para o qual a solução toca, mas cruza o eixo dos
.
Nos exercícios 19 a 22 identifique as equaçōes do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli: constante real]
[lembrando, tipo Bernoulli:
Calcule a integral.
(2,5 pontos) Determine
para que
seja tangente ao gráfico de