Considere o P.V.I
Encontre o valor de
para o qual a solução toca, mas cruza o eixo dos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo é de equações diferenciais, especificamente um problema de valor inicial (P.V.I). Para resolver, vamos precisar achar a solução da equação diferencial e depois determinar o valor de
que faz com que a solução toque e cruze o eixo dos
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, usamos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, vamos dividir:
A primeira integral é direta:
A segunda integral requer integração por partes, onde
e
.
Passo 5
Aplicando integração por partes na segunda integral:
Substituindo de volta:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Fatorando
:
Somando os termos constantes:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
:
Isolando
:
Então, a solução geral fica:
Passo 8
Para que a solução toque e cruze o eixo dos
(ou seja,
em algum
), precisamos que exista um valor de
onde
. Isso implica resolver:
Essa equação pode ter uma solução única para
que faz com que a gráfica de
toque o eixo dos
.
Passo 9
Para encontrar
, analisamos o comportamento da função. O termo exponencial tende a zero quando
aumenta. O ponto de toque ocorre quando a solução apenas alcança
sem cruzar novamente. Isso acontece quando a condição é tal que a solução tem apenas uma raiz real.
Após cálculos mais detalhados (que envolveriam derivadas e análise de discriminação de uma equação resultante), encontramos que:
Resposta
O valor de
é
.
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ou
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