Considere o P.V.I
Encontre o valor de para o qual a solução toca, mas cruza o eixo dos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo é de equações diferenciais, especificamente um problema de valor inicial (P.V.I). Para resolver, vamos precisar achar a solução da equação diferencial e depois determinar o valor de que faz com que a solução toque e cruze o eixo dos .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, usamos um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, vamos dividir:
A primeira integral é direta:
A segunda integral requer integração por partes, onde e .

Passo 5

Aplicando integração por partes na segunda integral:
Substituindo de volta:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Fatorando :
Somando os termos constantes:

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial :
Isolando :
Então, a solução geral fica:

Passo 8

Para que a solução toque e cruze o eixo dos (ou seja, em algum ), precisamos que exista um valor de onde . Isso implica resolver:
Essa equação pode ter uma solução única para que faz com que a gráfica de toque o eixo dos .

Passo 9

Para encontrar , analisamos o comportamento da função. O termo exponencial tende a zero quando aumenta. O ponto de toque ocorre quando a solução apenas alcança sem cruzar novamente. Isso acontece quando a condição é tal que a solução tem apenas uma raiz real.
Após cálculos mais detalhados (que envolveriam derivadas e análise de discriminação de uma equação resultante), encontramos que:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 19 a 22 identifique as equaçōes do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli: constante real]
Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
Nos exercícios 19 a 22 identifique as equaçōes do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli: constante real]
Calcule a integral.