Calcule integral e^x^2-1x d x como uma série infinita em torno de a=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de em torno de usando uma série infinita. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e séries de potências. Vamos precisar expandir a função exponencial em uma série de potências e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial e^u = sumn=0^infty u^nn! pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
e^x^2 = sumn=0^infty (x^2)^nn! = sumn=0^infty x^2nn!
Aqui, substituímos por :

Passo 3

Agora, subtraímos 1 dessa série:
e^x^2 - 1 = sumn=0^infty x^2nn! - 1 = sumn=1^infty x^2nn!
Observe que o termo quando é 1, que cancelamos ao subtrairmos 1.

Passo 4

Dividimos a série resultante por e^x^2 - 1x = sumn=1^infty x^2nn! cdot x = sumn=1^infty x^2n - 1n! :

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo a série acima em relação a integral e^x^2 - 1x dx = integral sumn=1^infty x^2n - 1n! dx = sumn=1^infty 1n! integral x^2n - 1 dx :

Passo 6

Calculamos a integral de cada termo:
integral x^2n - 1 dx = x^2n2n + C
Então, a série integrada fica:
sumn=1^infty 1n! cdot x^2n2n = sumn=1^infty x^2n2n cdot n!

Resposta

Portanto, a integral de integral e^x^2 - 1x dx = sumn=1^infty x^2n2n cdot n! + C como uma série infinita em torno de é:
Onde é a constante de integração.

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