Calcule
como uma série infinita em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de
em torno de
usando uma série infinita. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e séries de potências. Vamos precisar expandir a função exponencial
em uma série de potências e então integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial
pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
Aqui, substituímos
por
:
Passo 3
Agora, subtraímos 1 dessa série:
Observe que o termo quando
é 1, que cancelamos ao subtrairmos 1.
Passo 4
Dividimos a série resultante por
:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo a série acima em relação a
:
Passo 6
Calculamos a integral de cada termo:
Então, a série integrada fica:
Resposta
Portanto, a integral de
como uma série infinita em torno de
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Usando a série de
vista em sala de aula, determine a série que representa cada uma das funções abaixo:
Calcule os seguintes limites:
(b)
(b)
(a) (
Calcule o rotacional de
e o elemento de área orientado
(em coordenadas cartesianas).
Determine o intervalo de convergência da série de potências abaixo. Analise os extremos.