Calcule

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema de cálculo: calcular a integral de . Esse tipo de integral envolve uma função polinomial multiplicada pelo logaritmo natural . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções. Então, vamos precisar lembrar como funciona a regra de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral serão e . A escolha certa facilita bastante a resolução!

Passo 3

Vamos escolher:
Por quê? Porque derivar é mais fácil (deriva pra ) e integrar também é tranquilo. Agora, vamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
E integrando para achar :
Então, temos:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral:

Passo 6

Vamos calcular a última integral:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a integral de é:
onde é a constante de integração.

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