Calcule integral x^20 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema de cálculo: calcular a integral de . Esse tipo de integral envolve uma função polinomial multiplicada pelo logaritmo natural . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções. Então, vamos precisar lembrar como funciona a regra de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral serão e . A escolha certa facilita bastante a resolução!

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x e dv = x^20 , dx
Por quê? Porque derivar é mais fácil (deriva pra ) e integrar também é tranquilo. Agora, vamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx :
v = integral x^20 , dx = x^2121
E integrando u = ln x, du = 1x , dx, v = x^2121 para achar :
Então, temos:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^20 ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^2121 - integral x^2121 cdot 1x , dx
Simplificando a integral:
= x^21 ln x21 - 121 integral x^20 , dx

Passo 6

Vamos calcular a última integral:
integral x^20 , dx = x^2121
Então, substituindo de volta:
= x^21 ln x21 - 121 cdot x^2121
Simplificando:
= x^21 ln x21 - x^21441

Resposta

Portanto, a integral de integral x^20 ln x , dx = x^21 ln x21 - x^21441 + C é:
onde é a constante de integração.

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