Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte problema de cálculo: calcular a integral de
. Esse tipo de integral envolve uma função polinomial
multiplicada pelo logaritmo natural
. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções. Então, vamos precisar lembrar como funciona a regra de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral serão
e
. A escolha certa facilita bastante a resolução!
Passo 3
Vamos escolher:
Por quê? Porque derivar
é mais fácil (deriva pra
) e integrar
também é tranquilo. Agora, vamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
E integrando
para achar
:
Então, temos:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral:
Passo 6
Vamos calcular a última integral:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
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