Calcule integral(x^2+1raiz[3]x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo expansão de potências e integração de termos polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir o quadrado da soma e integrar cada termo resultante separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão dentro da integral. Lembre-se que (x^2 + 1raiz[3]x)^2 = (x^2)^2 + 2 cdot x^2 cdot 1raiz[3]x + (1raiz[3]x)^2 . Aplicando isso aqui:
(x^2)^2 = x^4
Simplificando cada termo:
2 cdot x^2 cdot 1raiz[3]x = 2x^2 - 13 = 2x^53
(1raiz[3]x)^2 = x^-23
x^4 + 2x^53 + x^-23
Então, a expressão expandida fica:

Passo 3

Agora que expandimos a expressão, vamos reescrever a integral com esses termos:
integral (x^4 + 2x^53 + x^-23) dx
Vamos resolver cada termo separadamente. A regra básica da integração de uma potência de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração e .

Passo 4

Aplicando a regra de integração a cada termo:
  1. Para integral x^4 dx = x^55 + C :
2 integral x^53 dx = 2 cdot x^53 + 153 + 1 = 2 cdot x^8383 = 34 x^83
  1. Para integral x^-23 dx = x^-23 + 1-23 + 1 = x^1313 = 3x^13 :
  1. Para :

Passo 5

Agora, juntando todos os resultados e somando as constantes de integração:
x^55 + 34 x^83 + 3x^13 + C

Resposta

integral(x^2+1raiz[3]x)^2 dx = x^55 + 34 x^83 + 3x^13 + C

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