Calcule integral 3 x^2+7x^3-x^2+4 x-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma fração polinomial. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais, que nos ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1^3 - 1^2 + 4(1) - 4 = 1 - 1 + 4 - 4 = 0. Procuramos raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Testando (x - 1)(x^2 + 4):
Então, é uma raiz. Agora, fazemos a divisão polinomial dividindo por , o que resulta em:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como soma de frações parciais:
3x^2 + 7(x - 1)(x^2 + 4) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 4
Multiplicando ambos os lados por 3x^2 + 7 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(x - 1), obtemos:

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
3x^2 + 7 = A x^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C
Agrupando os termos semelhantes:
(A + B)x^2 + (C - B)x + (4A - C) = 3x^2 + 7

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
A + B = 3 C - B = 0 4A - C = 7
Da segunda equação, 4A - B = 7. Substituindo na terceira equação:
4A - (3 - A) = 7 Rightarrow 5A = 10 Rightarrow A = 2
E da primeira equação, . Substituindo novamente:
Então, e .

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
3x^2 + 7(x - 1)(x^2 + 4) = 2x - 1 + x + 1x^2 + 4

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x - 1 , dx + integral x + 1x^2 + 4 , dx
A primeira integral é direta:
2 ln|x - 1|

Passo 8

Para a segunda integral, separamos em duas partes:
integral xx^2 + 4 , dx + integral 1x^2 + 4 , dx
Para 12 ln|x^2 + 4| , fazemos 12 arctan(x2) , então , o que nos dá:
Para , reconhecemos a forma da função arco-tangente:

Resposta

2 ln|x - 1| + 12 ln(x^2 + 4) + 12 arctan(x2) + C

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