Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma fração polinomial. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais, que nos ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, fazemos a divisão polinomial dividindo por , o que resulta em:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Passo 4
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Da segunda equação, 4A - B = 7. Substituindo na terceira equação:
4A - (3 - A) = 7 Rightarrow 5A = 10 Rightarrow A = 2
E da primeira equação, . Substituindo novamente:
Então, e .
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
3x^2 + 7(x - 1)(x^2 + 4) = 2x - 1 + x + 1x^2 + 4
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x - 1 , dx + integral x + 1x^2 + 4 , dx
A primeira integral é direta:
2 ln|x - 1|
Passo 8
Para a segunda integral, separamos em duas partes:
integral xx^2 + 4 , dx + integral 1x^2 + 4 , dx
Para 12 ln|x^2 + 4| , fazemos 12 arctan(x2) , então , o que nos dá:
Para , reconhecemos a forma da função arco-tangente: