Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma fração polinomial. Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais, que nos ajuda a simplificar a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Procuramos raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Testando :
Então, é uma raiz. Agora, fazemos a divisão polinomial dividindo por , o que resulta em:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos expressar a fração original como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 4

Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
Da segunda equação, . Substituindo na terceira equação:
E da primeira equação, . Substituindo novamente:
Então, e .

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
A primeira integral é direta:

Passo 8

Para a segunda integral, separamos em duas partes:
Para , fazemos , então , o que nos dá:
Para , reconhecemos a forma da função arco-tangente:

Resposta

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(2.5 pt) Nos exemplos abaixo, identifique qual é um grupo e qual não é (Justifique a sua resposta):
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(4)
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