Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(4) lim x 2 x^2-4x^2-x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular . O conteúdo aqui é de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar polinômios e identificar se o limite existe ou se precisamos considerar limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o numerador e o denominador da fração:
Numerador:
Denominador:
Essas são expressões quadráticas que podemos fatorar para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Isso é uma diferença de quadrados, que segue a fórmula:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) . Procuramos dois números que multiplicados dão e, somados, dão . Esses números são e .
Então:

Passo 5

Com os fatores encontrados, podemos reescrever a expressão original:
x^2-4x^2-x-2 = (x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 1)
Observamos que o termo (x - 2)(x + 2)(x - 2)(x + 1) = x + 2x + 1, x neq 2 aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar a fração, desde que :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
limx 2 x + 2x + 1
Como a expressão 2 + 22 + 1 = 43 é contínua em , podemos substituir diretamente:

Resposta

limx 2 x^2-4x^2-x-2 = 43

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