(2.5 pt) Nos exemplos abaixo, identifique qual é um grupo e qual não é (Justifique a sua resposta):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar, em alguns exemplos, quais são grupos e quais não são, justificando a resposta. Estamos falando de Teoria dos Grupos, que é uma parte da Álgebra Abstrata. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das quatro propriedades que definem um grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e elemento inverso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é um grupo. Um grupo é um conjunto junto com uma operação binária que satisfaz quatro propriedades básicas:
  1. Fechamento: Se você aplicar a operação a dois elementos do conjunto, o resultado também está no conjunto.
  2. Associatividade: A forma como você agrupa os elementos não muda o resultado. Ou seja, (a * b) * c = a * (b * c).
  3. Elemento neutro: Existe um elemento no conjunto que, quando usado na operação com qualquer outro elemento, retorna esse elemento.
  4. Elemento inverso: Para todo elemento no conjunto, existe outro elemento que, quando usados na operação, resultam no elemento neutro.

Passo 3

Agora, para cada exemplo que você tiver, vamos checar essas quatro propriedades:
  1. Fechamento: Veja se, ao aplicar a operação binária aos elementos do conjunto, você sempre permanece dentro do conjunto.
  2. Associatividade: Verifique se a operação é associativa para todos os elementos.
  3. Elemento neutro: Identifique se existe um elemento no conjunto que não muda os outros elementos quando a operação é aplicada.
  4. Elemento inverso: Confira se para cada elemento há outro que “desfaz” a operação, retornando ao elemento neutro.

Passo 4

Vamos supor que um dos exemplos seja o conjunto dos números inteiros com a operação de adição. Vamos aplicar as propriedades:
  1. Fechamento: A soma de dois números inteiros é um número inteiro. ✔️
  2. Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c). ✔️
  3. Elemento neutro: O número 0, porque a + 0 = a. ✔️
  4. Elemento inverso: Para cada inteiro a, existe o inverso -a, já que a + (-a) = 0. ✔️
Como todas as propriedades são satisfeitas, esse exemplo é um grupo.

Passo 5

Agora, imagine outro exemplo: o conjunto dos números naturais (1, 2, 3, …) com a operação de subtração. Vamos verificar:
  1. Fechamento: A subtração de dois números naturais nem sempre resulta em um número natural (por exemplo, 2 - 3 = -1, que não é natural). ❌
  2. Associatividade: Mesmo que fosse fechado, a subtração não é associativa. (a - b) - c ≠ a - (b - c). ❌
  3. Elemento neutro: Não existe um número natural que, subtraído de qualquer número natural, retorne o número original. ❌
  4. Elemento inverso: Não há inversos para a subtração nos números naturais. ❌
Como várias propriedades não são satisfeitas, esse exemplo não é um grupo.

Resposta

Seguindo as verificações das quatro propriedades básicas, identificamos quais exemplos formam grupos e quais não. No exemplo dos números inteiros com adição, temos um grupo, já que todas as propriedades são atendidas. Já no conjunto dos números naturais com subtração, não temos um grupo, pois não satisfazemos as propriedades de fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos.

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(4)
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