(2.5 pt) Considere
e
bijetiva
. Considerando a composição de funções como operação em
, mostre que (
) é um grupo não abeliano.
Passo 1
Então, a gente tem o conjunto
e
é o conjunto de todas as funções bijetivas de
para ele mesmo. Queremos mostrar que
forma um grupo não abeliano, onde
representa a composição de funções. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que são funções bijetivas, e verificar as propriedades que definem um grupo, além de demonstrar que a operação não é comutativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto equipado com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Além disso, um grupo é abeliano se a operação for comutativa, ou seja,
para todos os elementos
e
do grupo.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. As funções em
são bijeções, ou seja, funções que são tanto injetoras quanto sobrejetoras. Isso significa que cada elemento de
é mapeado para um elemento único em
, e todos os elementos de
são atingidos pela função.
Passo 4
Vamos verificar as quatro propriedades de grupo para
com a operação de composição:
-
Fechamento: Se pegarmos duas funções bijetivas
e em , a composição também será uma função bijetiva. Isso acontece porque a composição de duas bijeções é novamente uma bijeção. -
Elemento identidade: A função identidade
, que mapeia cada elemento para si mesmo ( ), está em . Para qualquer função em , . -
Inversos: Para cada função bijetiva
em , existe uma função inversa que satisfaz . Como é bijetiva, essa inversa também é bijetiva e pertence a . -
Associatividade: A composição de funções é sempre associativa. Ou seja,
para quaisquer funções em .
Passo 5
Agora, para verificar se o grupo é abeliano, precisamos ver se a composição de funções é comutativa. Vamos testar com dois elementos específicos de
.
Considere as funções:
-
que troca 1 e 2: , , . -
que troca 1 e 3: , , .
Vamos calcular
e
:
Então,
.
Agora,
:
Então,
.
Como
, a operação de composição não é comutativa.
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as propriedades de um grupo, mas como a composição de funções não é comutativa,
é um grupo não abeliano.