(2.5 pt) Considere S3 = {1, 2, 3} e G = { f : S3 -> S3 ; f } bijetiva }. Considerando a composição de funções como operação em G, mostre que ( G circ ) é um grupo não abeliano.

Passo 1

Então, a gente tem o conjunto e é o conjunto de todas as funções bijetivas de para ele mesmo. Queremos mostrar que forma um grupo não abeliano, onde representa a composição de funções. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que são funções bijetivas, e verificar as propriedades que definem um grupo, além de demonstrar que a operação não é comutativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto equipado com uma operação que satisfaz quatro propriedades: fechamento, existência de elemento identidade, existência de inversos e associatividade. Além disso, um grupo é abeliano se a operação for comutativa, ou seja, para todos os elementos e do grupo.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . As funções em são bijeções, ou seja, funções que são tanto injetoras quanto sobrejetoras. Isso significa que cada elemento de é mapeado para um elemento único em , e todos os elementos de são atingidos pela função.

Passo 4

Vamos verificar as quatro propriedades de grupo para com a operação de composição:
  1. Fechamento: Se pegarmos duas funções bijetivas e em , a composição também será uma função bijetiva. Isso acontece porque a composição de duas bijeções é novamente uma bijeção.
  2. Elemento identidade: A função identidade , que mapeia cada elemento para si mesmo ( ), está em . Para qualquer função em , .
  3. Inversos: Para cada função bijetiva em , existe uma função inversa que satisfaz . Como é bijetiva, essa inversa também é bijetiva e pertence a .
  4. Associatividade: A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer funções em .

Passo 5

Agora, para verificar se o grupo é abeliano, precisamos ver se a composição de funções é comutativa. Vamos testar com dois elementos específicos de .
Considere as funções:
  • que troca 1 e 2: , , .
  • que troca 1 e 3: , , .
Vamos calcular e :
Então, .
Agora, :
Então, .
Como , a operação de composição não é comutativa.

Resposta

Portanto, satisfaz todas as propriedades de um grupo, mas como a composição de funções não é comutativa, é um grupo não abeliano.

Exercícios relacionados