(2.5 pt) Mostre que o conjunto das matrizes do tipo , com , constitui um subgrupo do grupo multiplicativo das matrizes reais e inversíveis .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto formado por matrizes do tipo , onde é um número real. A gente precisa mostrar que esse conjunto é um subgrupo do grupo multiplicativo , que é o conjunto de todas as matrizes reais que são inversíveis (ou seja, têm determinante diferente de zero).
Para provar que é um subgrupo, vamos usar os critérios de subgrupo:
  1. Não vazio: deve ter pelo menos um elemento.
  2. Fechamento pela multiplicação: O produto de duas matrizes em também deve estar em .
  3. Fechamento pelos inversos: O inverso de qualquer matriz em também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.

Passo 2

1. não está vazio
Primeiro, precisamos mostrar que não está vazio. Para isso, basta encontrar pelo menos uma matriz que pertença a .
Vamos escolher :
Essa é a matriz identidade, e ela claramente pertence a . Logo, não está vazio.

Passo 3

2. Fechamento pela multiplicação
Agora, vamos ver se o produto de duas matrizes de também está em . Ou seja, se temos duas matrizes:
Precisamos calcular e mostrar que ela tem a mesma forma de .
Vamos multiplicar por :
Simplificando os elementos:
Observamos que:
Portanto, podemos reescrever como:
Isso mostra que o produto também tem a forma de uma matriz em . Assim, é fechado pela multiplicação.

Passo 4

3. Fechamento pelos inversos
Por último, vamos verificar se o inverso de uma matriz em também está em . Seja:
Queremos encontrar e mostrar que ele tem a mesma forma.
Sabemos que para matrizes de rotação, o inverso é igual à transposta. Vamos calcular :
Mas observe que:
Isso porque e .
Portanto:
Isso mostra que também pertence a , já que é um número real.

Resposta

Concluímos que o conjunto das matrizes do tipo , com , constitui um subgrupo do grupo multiplicativo .

Exercícios relacionados

Calcule
(2.5 pt) Nos exemplos abaixo, identifique qual é um grupo e qual não é (Justifique a sua resposta):
(2.5 pt) Considere e bijetiva . Considerando a composição de funções como operação em , mostre que ( ) é um grupo não abeliano.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(8)