(2.5 pt) Mostre que o conjunto
das matrizes do tipo
, com
, constitui um subgrupo do grupo multiplicativo
das matrizes reais e inversíveis
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
formado por matrizes do tipo
, onde
é um número real. A gente precisa mostrar que esse conjunto
é um subgrupo do grupo multiplicativo
, que é o conjunto de todas as matrizes reais
que são inversíveis (ou seja, têm determinante diferente de zero).
Para provar que
é um subgrupo, vamos usar os critérios de subgrupo:
- Não vazio:
deve ter pelo menos um elemento. - Fechamento pela multiplicação: O produto de duas matrizes em
também deve estar em . - Fechamento pelos inversos: O inverso de qualquer matriz em
também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos passo a passo.
Passo 2
1.
não está vazio
Primeiro, precisamos mostrar que
não está vazio. Para isso, basta encontrar pelo menos uma matriz que pertença a
.
Vamos escolher
:
Essa é a matriz identidade, e ela claramente pertence a
. Logo,
não está vazio.
Passo 3
2. Fechamento pela multiplicação
Agora, vamos ver se o produto de duas matrizes de
também está em
. Ou seja, se temos duas matrizes:
Precisamos calcular
e mostrar que ela tem a mesma forma de
.
Vamos multiplicar
por
:
Simplificando os elementos:
Observamos que:
Portanto, podemos reescrever
como:
Isso mostra que o produto
também tem a forma de uma matriz em
. Assim,
é fechado pela multiplicação.
Passo 4
3. Fechamento pelos inversos
Por último, vamos verificar se o inverso de uma matriz em
também está em
. Seja:
Queremos encontrar
e mostrar que ele tem a mesma forma.
Sabemos que para matrizes de rotação, o inverso é igual à transposta. Vamos calcular
:
Mas observe que:
Isso porque
e
.
Portanto:
Isso mostra que
também pertence a
, já que
é um número real.
Resposta
Concluímos que o conjunto
das matrizes do tipo
, com
, constitui um subgrupo do grupo multiplicativo
.
Exercícios relacionados
Calcule
(2.5 pt) Nos exemplos abaixo, identifique qual é um grupo e qual não é (Justifique a sua resposta):
(2.5 pt) Considere
e
bijetiva
. Considerando a composição de funções como operação em
, mostre que (
) é um grupo não abeliano.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(8)
(8)