Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
m)
.
m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é
. Estamos no ramo das equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos uma solução da forma
e encontramos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular também polinomial. Vamos supor:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, juntando a solução homogênea e a solução particular, temos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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