Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
m) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é . Estamos no ramo das equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. Para isso, precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos uma solução da forma e encontramos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular também polinomial. Vamos supor:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para o termo constante:

Passo 8

Portanto, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, juntando a solução homogênea e a solução particular, temos a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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