Construir uma hélice cônica circular
tal que
.
Passo 1
Então, a gente tem que construir uma hélice cônica circular, que é basicamente uma curva que dá voltas ao redor de um cone enquanto sobe ou desce. A equação geral dessa hélice é representada por
, onde
é o parâmetro que varia em todos os números reais. A condição dada é que a derivada de
em relação a
, ou seja,
, é igual a uma constante positiva
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente derivadas e parametrizações de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso indica que a taxa de variação de
em relação a
é constante. Então, se integrarmos essa derivada, vamos encontrar a expressão para
. A integração de
dá:
Onde
é a constante de integração. Podemos, sem perda de generalidade, considerar
, simplificando para:
Passo 3
Agora, precisamos definir as componentes
e
da hélice. Como a hélice é circular e está em um cone, a distância do ponto
à origem deve estar relacionada com
. Suponha que o cone tenha um ângulo
com o eixo
, então:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, como a hélice é circular, podemos parametrizar
e
usando funções trigonométricas, representando a rotação em torno do eixo
. Assim:
Onde
é a velocidade angular da hélice.
Passo 5
Juntando tudo, a parametrização completa da hélice cônica circular fica:
Essa equação descreve uma hélice que dá voltas ao redor de um cone com ângulo
, subindo a uma taxa constante
.
Resposta
A parametrização da hélice cônica circular é:
Onde
,
é o ângulo do cone e
é a velocidade angular.
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c)
c)
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a)
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e)
e)
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j)
j)