Construir uma hélice cônica circular
alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)), t em R
tal que z'(t) = k, k > 0.

Passo 1

Então, a gente tem que construir uma hélice cônica circular, que é basicamente uma curva que dá voltas ao redor de um cone enquanto sobe ou desce. A equação geral dessa hélice é representada por , onde t é o parâmetro que varia em todos os números reais. A condição dada é que a derivada de z em relação a t, ou seja, , é igual a uma constante positiva k. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente derivadas e parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso indica que a taxa de variação de z em relação a t é constante. Então, se integrarmos essa derivada, vamos encontrar a expressão para z(t). A integração de dá:
Onde C é a constante de integração. Podemos, sem perda de generalidade, considerar , simplificando para:

Passo 3

Agora, precisamos definir as componentes x(t) e y(t) da hélice. Como a hélice é circular e está em um cone, a distância do ponto à origem deve estar relacionada com z(t). Suponha que o cone tenha um ângulo theta com o eixo z, então:
Como , temos:

Passo 4

Agora, como a hélice é circular, podemos parametrizar x(t) e y(t) usando funções trigonométricas, representando a rotação em torno do eixo z. Assim:
Onde omega é a velocidade angular da hélice.

Passo 5

Juntando tudo, a parametrização completa da hélice cônica circular fica:
Essa equação descreve uma hélice que dá voltas ao redor de um cone com ângulo theta, subindo a uma taxa constante k.

Resposta

A parametrização da hélice cônica circular é:
Onde , theta é o ângulo do cone e omega é a velocidade angular.

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