Use as substituições trigonométricas para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de a da função em relação a . Para isso, vamos usar substituições trigonométricas, uma técnica que facilita a integração de expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas como seno e cosseno e como elas podem ser usadas para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão , notamos que se , então . Então, vamos fazer essa substituição:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Derivando em relação a :
Também, como mencionamos antes:
E, claro:

Passo 4

Substituindo tudo isso na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para . Sabemos que:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a integral definida em termos de fica:

Passo 7

Integrando :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral é .

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Use as substituições trigonométricas para calcular:
Calcule:
Calcule
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: