Use as substituições trigonométricas para calcular: integralraiz2^2 1x^2 raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de a da função em relação a . Para isso, vamos usar substituições trigonométricas, uma técnica que facilita a integração de expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas como seno e cosseno e como elas podem ser usadas para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão x = sec(theta) , notamos que se , então . Então, vamos fazer essa substituição:

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx = sec(theta)tan(theta) dtheta em termos de raizx^2 - 1 = tan(theta) . Derivando x^2 = sec^2(theta) em relação a :
Também, como mencionamos antes:
E, claro:

Passo 4

Substituindo tudo isso na integral original:
integralraiz2^2 1x^2 raizx^2-1 dx = integral 1sec^2(theta) tan(theta) cdot sec(theta)tan(theta) dtheta

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
1sec^2(theta) tan(theta) cdot sec(theta)tan(theta) = sec(theta)tan(theta)sec^2(theta)tan(theta) = 1sec(theta) = cos(theta)
Então, a integral fica:
integral cos(theta) dtheta

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para raiz2 = sec(theta) Rightarrow theta = pi4 . Sabemos que:
  • Quando 2 = sec(theta) Rightarrow theta = pi3 :
    integralpi4^pi3 cos(theta) dtheta
  • Quando :
Então, a integral definida em termos de fica:

Passo 7

Integrando integral cos(theta) dtheta = sin(theta) + C :
sin(pi3) - sin(pi4) = raiz32 - raiz22
Aplicando os limites de integração:

Resposta

O valor da integral é .

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