Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
a
da função
em relação a
. Para isso, vamos usar substituições trigonométricas, uma técnica que facilita a integração de expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas como seno e cosseno e como elas podem ser usadas para simplificar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição trigonométrica adequada. Observando a expressão
, notamos que se
, então
. Então, vamos fazer essa substituição:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Também, como mencionamos antes:
E, claro:
Passo 4
Substituindo tudo isso na integral original:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para
. Sabemos que:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, a integral definida em termos de
fica:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O valor da integral é
.
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Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: