Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelo gráfico de
, o eixo
e o eixo
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pelo eixo
em torno do próprio eixo
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos ou anéis. Então, vamos precisar entender como aplicar integrais para calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa a função
. Essa é a equação de um semicírculo com raio 2, já que
é a forma geral de um círculo de raio 2 centrado na origem. Como estamos considerando
positivo, fica só a parte de cima.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que estamos girando. Ela é limitada pelo semicírculo
, pelo eixo
(onde
) e pelo eixo
(onde
). Isso forma um quarto de círculo no primeiro quadrante.
Passo 4
Para encontrar o volume desse sólido de rotação, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos infinitesimais perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo
) e somar os volumes deles.
Passo 5
A fórmula do método dos discos é:
Aqui,
é a função que descreve o raio do disco em cada ponto
, e
e
são os limites de integração.
Passo 6
No nosso caso,
, e os limites de
vão de 0 a 2, porque o semicírculo vai de
a
, mas como estamos no primeiro quadrante, ficamos de 0 a 2.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Simplificando
:
Passo 8
Vamos integrar agora:
Avaliado de 0 a 2:
Passo 9
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.