Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelo gráfico de y = raiz4 - x^2, o eixo x e o eixo y em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região delimitada pelo gráfico de , pelo eixo e pelo eixo em torno do próprio eixo . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos ou anéis. Então, vamos precisar entender como aplicar integrais para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa a função . Essa é a equação de um semicírculo com raio 2, já que é a forma geral de um círculo de raio 2 centrado na origem. Como estamos considerando positivo, fica só a parte de cima.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que estamos girando. Ela é limitada pelo semicírculo , pelo eixo (onde ) e pelo eixo (onde ). Isso forma um quarto de círculo no primeiro quadrante.

Passo 4

Para encontrar o volume desse sólido de rotação, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em discos infinitesimais perpendiculares ao eixo de rotação (no caso, o eixo ) e somar os volumes deles.

Passo 5

A fórmula do método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Aqui, é a função que descreve o raio do disco em cada ponto , e e são os limites de integração.

Passo 6

No nosso caso, , e os limites de vão de 0 a 2, porque o semicírculo vai de a , mas como estamos no primeiro quadrante, ficamos de 0 a 2.

Passo 7

Substituindo na fórmula:
V = pi integral0^2 (raiz4 - x^2)^2 , dx
Simplificando V = pi integral0^2 (4 - x^2) , dx :

Passo 8

Vamos integrar agora:
integral (4 - x^2) , dx = 4x - x^33
Avaliado de 0 a 2:
[4(2) - (2)^33] - [4(0) - (0)^33] = (8 - 83) - 0 = 243 - 83 = 163

Passo 9

Multiplicando pelo V = pi times 163 = 16pi3 :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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