Mostre que uma função diferenciável decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente mostre que uma função diferenciável diminui mais rápido na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e vetores gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função , o gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais:

Passo 3

Agora, para entender como a função muda em uma direção qualquer, usamos a derivada direcional. A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Isso significa que estamos calculando o quanto a função varia quando nos movemos na direção de .

Passo 4

Queremos encontrar a direção onde a função diminui mais rápido, ou seja, onde a derivada direcional é mínima. Como o gradiente aponta para o aumento máximo, a direção oposta ao gradiente, , será onde a variação de é mais negativa.
Matematicamente, para maximizar a diminuição, escolhemos:
Aqui, estamos normalizando o gradiente para ter um vetor unitário na direção oposta.

Passo 5

Assim, ao calcular a derivada direcional nessa direção:
Isso mostra que a taxa de variação é a mais negativa possível, ou seja, a função está diminuindo o mais rápido possível nessa direção.

Resposta

Portanto, uma função diferenciável de fato diminui mais rapidamente na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de .

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(2,0 pts) Parametrize nas variáveis a porção da superfície entre os planos e . Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.
(1,5 pts) Determine a área da porção da superfície interior ao cilindro .
Calcule
Seja .
Em que direção a taxa de variação de no ponto é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?