Mostre que uma função diferenciável
decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente mostre que uma função diferenciável
diminui mais rápido na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de
. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e vetores gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função
, o gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais:
Passo 3
Agora, para entender como a função muda em uma direção qualquer, usamos a derivada direcional. A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Isso significa que estamos calculando o quanto a função varia quando nos movemos na direção de
.
Passo 4
Queremos encontrar a direção onde a função diminui mais rápido, ou seja, onde a derivada direcional é mínima. Como o gradiente aponta para o aumento máximo, a direção oposta ao gradiente,
, será onde a variação de
é mais negativa.
Matematicamente, para maximizar a diminuição, escolhemos:
Aqui, estamos normalizando o gradiente para ter um vetor unitário na direção oposta.
Passo 5
Assim, ao calcular a derivada direcional nessa direção:
Isso mostra que a taxa de variação é a mais negativa possível, ou seja, a função está diminuindo o mais rápido possível nessa direção.
Resposta
Portanto, uma função diferenciável
de fato diminui mais rapidamente na direção oposta ao vetor gradiente, ou seja, na direção de
.
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a porção da superfície
entre os planos
e
. Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.
(1,5 pts) Determine a área da porção da superfície
interior ao cilindro
.
Calcule
Seja
.
Em que direção a taxa de variação de no ponto
é máxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?
Em que direção a taxa de variação de