(2,0 pts) Parametrize nas variáveis a porção da superfície entre os planos e . Apresente a integral dupla (não precisa calcular) que representa a área de tal superficie.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que parametrizar a parte da superfície dada por que está entre os planos e . Isso significa que precisamos encontrar uma maneira de descrever essa superfície usando duas variáveis, que vamos chamar de e . Além disso, vamos montar uma integral dupla que representa a área dessa parte da superfície. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e cálculo de integrais duplas para área.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher como vamos parametrizar a superfície. Observando a equação , percebemos que isso representa um cone duplo. Para facilitar, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para trabalhar com superfícies que possuem simetria circular, como esse cone. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, e serão nossos parâmetros, então vamos deixar e .

Passo 3

Agora, vamos expressar , e em termos dos parâmetros e :
Dessa forma, qualquer ponto na superfície pode ser descrito usando os valores de e .

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar os limites para e para cobrir a porção da superfície entre os planos e .
Primeiro, para , temos .
Para o plano , substituindo e em termos de e :
Portanto, varia de 0 até . Já tem que variar de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do cone.

Passo 5

Agora, vamos calcular o elemento de área da superfície. Para isso, precisamos das derivadas parciais da parametrização em relação a e :
O elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, .

Resposta

A integral dupla que representa a área da porção da superfície é:
Á

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(1,5 pts) Determine a área da porção da superfície interior ao cilindro .
(2,0 pts) Calcule a integral
onde é uma curva arbitrária ligando os ponto e .
Mostre que uma função diferenciável decresce mais rapidamente na direção oposta a do vetor gradiente, ou seja, na direção de .
Calcule