Calcule:
Passo 1
Beleza, amigo! Vamos resolver esse integral
. O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método de integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que ajuda a integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, a gente escolhe uma parte da nossa integral para ser
e a outra para ser
. No nosso caso, vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
. Derivando
:
E integrando
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de integração por partes agora:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
A última integral que ficou é
, que é fácil de resolver:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o valor definido da integral de
a
:
Vamos avaliar os limites.
Passo 7
Primeiro, quando
tende ao infinito:
Isso ocorre porque
decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.
Passo 8
Agora, quando
:
Então, substituindo nos limites:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Seja
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
, em torno do eixo
.
(b)
Calcule:
Calcule:
Seja
(a) Calcule a área de
.
(a)