Calcule: (2,0)
integral0^+infty x e^-x d x

Passo 1

Beleza, amigo! Vamos resolver esse integral . O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método de integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente escolhe uma parte da nossa integral para ser u = x e dv = e^-x dx e a outra para ser . No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = dx e v = integral e^-x dx = -e^-x . Derivando u = x, du = dx, dv = e^-x dx, v = -e^-x :
E integrando :
Então, temos:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes agora:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^-x dx = (-x e^-x) - integral (-e^-x) dx
Simplificando:
integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx

Passo 5

A última integral que ficou é integral e^-x dx = -e^-x + C , que é fácil de resolver:
integral x e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x e^-x dx = -e^-x(x + 1) + C
Fatorando :

Passo 6

Agora, precisamos calcular o valor definido da integral de integral0^+infty x e^-x dx = [ -e^-x(x + 1) ]0^+infty a :
Vamos avaliar os limites.

Passo 7

Primeiro, quando limx to +infty -e^-x(x + 1) = 0 tende ao infinito:
Isso ocorre porque decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.

Passo 8

Agora, quando -e^-0(0 + 1) = -1 :
0 - (-1) = 1
Então, substituindo nos limites:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados