Calcule:

Passo 1

Beleza, amigo! Vamos resolver esse integral . O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método de integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
Aqui, a gente escolhe uma parte da nossa integral para ser e a outra para ser . No nosso caso, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular e . Derivando :
E integrando :
Então, temos:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes agora:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

A última integral que ficou é , que é fácil de resolver:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Fatorando :

Passo 6

Agora, precisamos calcular o valor definido da integral de a :
Vamos avaliar os limites.

Passo 7

Primeiro, quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.

Passo 8

Agora, quando :
Então, substituindo nos limites:

Resposta

O valor da integral é .

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Seja
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de , em torno do eixo .
Calcule:
Calcule:
Seja
(a) Calcule a área de .