Calcule integral-1^1 x^4(x^5+3)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Aqui, vamos usar o conceito de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Olhando para , percebemos que dentro do parênteses é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável u = x^5 + 3 igual a :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = 5x^4 :
du = 5x^4 dx
Isso significa que:

Passo 5

Queremos substituir x^4 dx = du5 na integral. Vamos rearranjar a expressão para :

Passo 6

Agora, vamos substituir integral-1^1 x^4(x^5 + 3)^3 dx = integral (u)^3 cdot du5 e 15 integral u^3 du na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos integrar integral u^3 du = u^44 + C em relação a 15 cdot u^44 = u^420 :
Então, substituindo de volta na nossa expressão:

Passo 8

Agora, vamos substituir (x^5 + 3)^420 de volta para :

Passo 9

Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de (x^5 + 3)^420 |-1^1 = (1^5 + 3)^420 - ((-1)^5 + 3)^420 a (1 + 3)^4 = 4^4 = 256 :
(-1 + 3)^4 = 2^4 = 16
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Resposta

Substituindo os valores:
25620 - 1620 = 24020 = 12
Então, o valor da integral é 12.

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