Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Aqui, vamos usar o conceito de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando-as em algo mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Olhando para , percebemos que dentro do parênteses é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável igual a :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Calculando a derivada de :
Isso significa que:

Passo 5

Queremos substituir na integral. Vamos rearranjar a expressão para :

Passo 6

Agora, vamos substituir e na integral original:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, substituindo de volta na nossa expressão:

Passo 8

Agora, vamos substituir de volta para :

Passo 9

Finalmente, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Resposta

Substituindo os valores:
Então, o valor da integral é 12.

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