Calcule a integral integral-1^1(x^5-6 x^9+sen x(1+x^4)^2) d x.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral definida de . Vamos usar conceitos de funções pares e ímpares, além de propriedades de integrais simétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada termo da função dentro da integral para ver se ela é par ou ímpar. Lembrando que uma função é:
  • Par se
  • Ímpar se
Vamos verificar cada parte:
  1. : Como é ímpar, é uma função ímpar.
  2. : também é ímpar (pois é ímpar), e multiplicar por uma constante não muda essa propriedade, então é ímpar.
  3. : é ímpar e é par (já que é par e elevar ao quadrado mantém a paridade). O quociente de uma função ímpar por uma par é ímpar.
Então, todos os termos da função são ímpares, o que faz com que a função inteira seja ímpar.

Passo 3

Sabendo que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem integral-1^1(x^5 - 6x^9 + sin x(1 + x^4)^2) dx = 0 é zero, podemos concluir que:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente nesse tipo de função e intervalo.

Resposta

O valor da integral é zero.

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
(e) u = x^(y / z)
Calcule a integral indefinida. integral(3 x-20)^20 d x.
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
F(x) = ln(1 + |sen(x)|)
Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
integral-infty^infty psigma(x) d x=1