Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral definida de
. Vamos usar conceitos de funções pares e ímpares, além de propriedades de integrais simétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada termo da função dentro da integral para ver se ela é par ou ímpar. Lembrando que uma função é:
- Par se
- Ímpar se
Vamos verificar cada parte:
-
: Como é ímpar, é uma função ímpar. -
: também é ímpar (pois é ímpar), e multiplicar por uma constante não muda essa propriedade, então é ímpar. -
: é ímpar e é par (já que é par e elevar ao quadrado mantém a paridade). O quociente de uma função ímpar por uma par é ímpar.
Então, todos os termos da função são ímpares, o que faz com que a função inteira seja ímpar.
Passo 3
Sabendo que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem
é zero, podemos concluir que:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente nesse tipo de função e intervalo.
Resposta
O valor da integral é zero.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
(e)
(e)
Calcule a integral indefinida.
.
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.
Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,