Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
(e) u = x^(y / z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a , e . Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais onde a base e o expoente podem ser variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Lembre-se que quando temos uma função do tipo , onde é uma constante, a derivada é . No nosso caso, o expoente não é constante porque depende de e , mas para esta derivada específica, tratamos e como constantes.
Então, aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, tanto o expoente quanto a base são funções de . Para derivadas onde o expoente depende da variável, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a função usando logaritmos para facilitar a derivação:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, tanto o expoente quanto a base podem depender de . Usamos a mesma abordagem com logaritmos:
Derivando ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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