Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e queremos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
,
e
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais onde a base e o expoente podem ser variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Lembre-se que quando temos uma função do tipo
, onde
é uma constante, a derivada é
. No nosso caso, o expoente
não é constante porque depende de
e
, mas para esta derivada específica, tratamos
e
como constantes.
Então, aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, tanto o expoente
quanto a base
são funções de
. Para derivadas onde o expoente depende da variável, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a função usando logaritmos para facilitar a derivação:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, tanto o expoente
quanto a base
podem depender de
. Usamos a mesma abordagem com logaritmos:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida.
.
Determine o valor da integral definida
na forma de uma fração irredutível
.
Calcule a integral
.
Verique se as funções abaixo são periódicas, em caso afirmativo, determine um período da mesma.