Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver:
Esse exercício é sobre integrais impróprias, que são aquelas que envolvem limites infinitos ou pontos onde a função não está definida. Aqui, nosso limite inferior é
, indicando que vamos integrar de menos infinito até 3. Vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral substituindo o limite inferior por uma variável que tende ao infinito:
Agora, vamos resolver a integral indefinida
.
Passo 3
Para integrar
, fazemos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 4
Integrando
:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 6
Simplificando:
Quando
,
, então
.
Portanto:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral.
Calcule a integral.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.