Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-infty^3 d x(9-x)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver:
integral-infty^3 dx(9 - x)^2
Esse exercício é sobre integrais impróprias, que são aquelas que envolvem limites infinitos ou pontos onde a função não está definida. Aqui, nosso limite inferior é , indicando que vamos integrar de menos infinito até 3. Vamos precisar entender como lidar com limites infinitos e verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (vai para infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral substituindo o limite inferior por uma variável que tende ao infinito:
lima to -infty integrala^3 dx(9 - x)^2
Agora, vamos resolver a integral indefinida .

Passo 3

Para integrar integral dx(9 - x)^2 = integral -duu^2 = -integral u^-2 du , fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 4

Integrando - integral u^-2 du = - ( u^-1-1 ) + C = 1u + C :
1u + C = 19 - x + C
Voltando para :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração:
lima to -infty [ 19 - x ]a^3 = lima to -infty ( 19 - 3 - 19 - a ) = lima to -infty ( 16 - 19 - a )

Passo 6

Simplificando:
16 - 19 - a
Quando lima to -infty ( 16 - 0 ) = 16 , , então .
Portanto:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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