Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Para isso, vamos usar cálculos de integrais envolvendo limites, que são parte do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou a função tem alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite inferior é , então é uma integral imprópria.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos reescrevê-la usando um limite. Assim, a integral fica:
Isso significa que vamos calcular a integral de até 0 e, depois, ver o que acontece quando vai para .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular o limite quando tende a :
Vamos analisar cada parte:
  • é constante.
  • , quando , , então .

Passo 6

Somando as duas partes:
Ou seja, a integral tende para infinito.

Resposta

A integral diverge, pois o seu valor tende ao infinito.

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Calcule a integral.
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