Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-infty^0 e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a integral imprópria integral-infty^0 e^-x dx converge ou diverge. Para isso, vamos usar cálculos de integrais envolvendo limites, que são parte do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou a função tem alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite inferior é -infty, então é uma integral imprópria.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos reescrevê-la usando um limite. Assim, a integral fica:
integral-infty^0 e^-x dx = lima to -infty integrala^0 e^-x dx
Isso significa que vamos calcular a integral de a até 0 e, depois, ver o que acontece quando a vai para -infty.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integrala^0 e^-x dx. A antiderivada de e^-x é -e^-x, então:
integrala^0 e^-x dx = [-e^-x]a^0 = -e^0 + e^-a = -1 + e^-a

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular o limite quando a tende a -infty:
lima to -infty (-1 + e^-a)
Vamos analisar cada parte:
  • -1 é constante.
  • e^-a, quando a to -infty, -a to +infty, então e^-a to e^+infty = +infty.

Passo 6

Somando as duas partes:
-1 + (+infty) = +infty
Ou seja, a integral tende para infinito.

Resposta

A integral integral-infty^0 e^-x dx diverge, pois o seu valor tende ao infinito.

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