Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. Para isso, vamos usar cálculos de integrais envolvendo limites, que são parte do cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou a função tem alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o limite inferior é
, então é uma integral imprópria.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos reescrevê-la usando um limite. Assim, a integral fica:
Isso significa que vamos calcular a integral de
até 0 e, depois, ver o que acontece quando
vai para
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular o limite quando
tende a
:
Vamos analisar cada parte:
-
é constante. -
, quando , , então .
Passo 6
Somando as duas partes:
Ou seja, a integral tende para infinito.
Resposta
A integral
diverge, pois o seu valor tende ao infinito.
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Calcule a integral.
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