Calcule integral x^-1 / 2 cos (raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para calcular a integral . Esse tipo de integral combina funções algébricas com funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar a expressão tornando a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar dxdu = 2u implies dx = 2u , du , ou seja, . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de .
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos integral x^-1/2 cos(raizx) , dx = integral (u^2)^-1/2 cos(u) cdot 2u , du e (u^2)^-1/2 = u^-1 na integral original:
integral u^-1 cos(u) cdot 2u , du = integral 2 cos(u) , du
Simplificando :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, a integral está mais simples:
integral 2 cos(u) , du = 2 integral cos(u) , du
Sabemos que a integral de 2 integral cos(u) , du = 2 sin(u) + C em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original 2 sin(u) + C = 2 sin(raizx) + C . Lembrando que , temos:

Resposta

A integral é igual a .

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