Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 4 x-2x^3-x^2-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma função racional usando o método das frações parciais. A integral que precisamos resolver é:
integral 4x - 2x^3 - x^2 - 2x , dx
Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) . Podemos fatorar por x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) em comum:
x^3 - x^2 - 2x = x(x - 2)(x + 1)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar o método das frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. Assim, assumimos:
4x - 2x(x - 2)(x + 1) = Ax + Bx - 2 + Cx + 1
Onde , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de 4x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) , e , primeiro multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, precisamos escolher valores de que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar , e .

Passo 5

Vamos escolher 4(0) - 2 = A(0 - 2)(0 + 1) + B cdot 0 cdot (0 + 1) + C cdot 0 cdot (0 - 2) -2 = A(-2)(1) -2 = -2A A = 1 que anulam alguns termos:
  • Para 4(2) - 2 = A(2 - 2)(2 + 1) + B cdot 2 cdot (2 + 1) + C cdot 2 cdot (2 - 2) 6 = 0 + 6B + 0 6 = 6B B = 1 :
4(-1) - 2 = A(-1 - 2)(-1 + 1) + B cdot (-1) cdot (-1 + 1) + C cdot (-1) cdot (-1 - 2) -6 = 0 + 0 + 3C -6 = 3C C = -2
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos 4x - 2x(x - 2)(x + 1) = 1x + 1x - 2 - 2x + 1 , e , podemos escrever a decomposição das frações parciais:

Passo 7

Por fim, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 4x - 2x^3 - x^2 - 2x , dx = integral ( 1x + 1x - 2 - 2x + 1 ) dx
Integrando termo a termo:
= ln|x| + ln|x - 2| - 2ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral 4x - 2x^3 - x^2 - 2x , dx = ln|x| + ln|x - 2| - 2ln|x + 1| + C

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