Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma função racional usando o método das frações parciais. A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Podemos fatorar por em comum:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar o método das frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. Assim, assumimos:
Onde , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , primeiro multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, precisamos escolher valores de que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar , e .

Passo 5

Vamos escolher que anulam alguns termos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos escrever a decomposição das frações parciais:

Passo 7

Por fim, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

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Calcule
Use as substituições trigonométricas para calcular:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
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