Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de uma função racional usando o método das frações parciais. A integral que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos fatorar por
em comum:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então:
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos usar o método das frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. Assim, assumimos:
Onde
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, primeiro multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, precisamos escolher valores de
que simplifiquem a equação e nos ajudem a encontrar
,
e
.
Passo 5
Vamos escolher
que anulam alguns termos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a decomposição das frações parciais:
Passo 7
Por fim, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
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