Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral0^4 x-22 x^2+7 x+3 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de de 0 a 4 usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, um polinômio no numerador e outro no denominador. Precisamos fatorar o denominador para poder decompor a fração em partes mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

O próximo passo é fatorar o denominador 2x^2 + 6x + x + 3 = (2x^2 + 6x) + (x + 3) = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3) . Vamos procurar dois números que multiplicados dão e somados dão 7. Esses números são 6 e 1. Então, podemos reescrever o polinômio:
Portanto, o denominador fatorado é .

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x - 2(2x + 1)(x + 3) = A2x + 1 + Bx + 3 em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x - 2 = A(x + 3) + B(2x + 1) para eliminar as frações:
x - 2 = A x + 3A + 2B x + B = (A + 2B)x + (3A + B)
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
A + 2B = 1 3A + B = -2
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações para encontrar A = 1 - 2B e 3(1 - 2B) + B = -2 3 - 6B + B = -2 3 - 5B = -2 -5B = -5 B = 1 .
Primeiro, da primeira equação:
A = 1 - 2(1) = -1
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos de volta para encontrar :

Passo 6

Com os valores de x - 2(2x + 1)(x + 3) = -12x + 1 + 1x + 3 e , a decomposição em frações parciais fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando os termos:
integral -12x + 1 dx + integral 1x + 3 dx
Para a primeira integral, fazemos a substituição - 12 integral 1u du = - 12 ln |u| + C = - 12 ln |2x + 1| , então ln |x + 3| + C ou - 12 ln |2x + 1| + ln |x + 3| + C :
Para a segunda integral:
Portanto, a integral geral é:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ - 12 ln (2x + 1) + ln (x + 3) ]0^4
Calculamos para - 12 ln (2 times 4 + 1) + ln (4 + 3) = - 12 ln 9 + ln 7 :
- 12 ln (2 times 0 + 1) + ln (0 + 3) = - 12 ln 1 + ln 3 = ln 3
E para ( - 12 ln 9 + ln 7 ) - ln 3 = - 12 ln 9 + ln 73 :
- 12 times 2 ln 3 + ln 73 = - ln 3 + ln 73 = ln ( 73 times 13 ) = ln ( 79 )
Subtraindo:
Sabemos que , então:

Resposta

ln ( 79 )

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