Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de de 0 a 4 usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, um polinômio no numerador e outro no denominador. Precisamos fatorar o denominador para poder decompor a fração em partes mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

O próximo passo é fatorar o denominador . Vamos procurar dois números que multiplicados dão e somados dão 7. Esses números são 6 e 1. Então, podemos reescrever o polinômio:
Portanto, o denominador fatorado é .

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvemos o sistema de equações para encontrar e .
Primeiro, da primeira equação:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos de volta para encontrar :

Passo 6

Com os valores de e , a decomposição em frações parciais fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando os termos:
Para a primeira integral, fazemos a substituição , então ou :
Para a segunda integral:
Portanto, a integral geral é:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Calculamos para :
E para :
Subtraindo:
Sabemos que , então:

Resposta

Exercícios relacionados

Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Calcule
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: