Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral definida de
de 0 a 4 usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, um polinômio no numerador e outro no denominador. Precisamos fatorar o denominador para poder decompor a fração em partes mais simples que possamos integrar facilmente.
Passo 2
O próximo passo é fatorar o denominador
. Vamos procurar dois números que multiplicados dão
e somados dão 7. Esses números são 6 e 1. Então, podemos reescrever o polinômio:
Portanto, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvemos o sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
de volta para encontrar
:
Passo 6
Com os valores de
e
, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integrando os termos:
Para a primeira integral, fazemos a substituição
, então
ou
:
Para a segunda integral:
Portanto, a integral geral é:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Calculamos para
:
E para
:
Subtraindo:
Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Calcule
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: