Calcule integral 1(3-2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de 1(3 - 2x)^2 em relação a x. Isso está no campo do cálculo integral, especificamente lidando com funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral facilitando a aplicação de regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que estamos integrando: 1(3 - 2x)^2. Ela tem uma expressão complicada dentro do denominador que está elevada ao quadrado. Para facilitar, vamos fazer uma substituição que transforme essa expressão complicada em algo mais simples.

Passo 3

Vamos usar a substituição u = 3 - 2x. Isso vai simplificar o denominador da nossa integral. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o diferencial dx.

Passo 4

Derivando u em relação a x, temos:
dudx = -2 implies du = -2,dx
Isso significa que:
dx = du-2
Vamos substituir dx e a expressão de u na nossa integral original.

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:
integral 1u^2 cdot du-2 = -12 integral 1u^2 du
Agora, a integral está mais simples e podemos integrá-la usando uma regra básica.

Passo 6

Sabemos que:
integral u^-2 du = u^-1-1 + C = -1u + C
Então, substituindo de volta:
-12 ( -1u ) + C = 12u + C

Passo 7

Lembrando que u = 3 - 2x, substituímos de volta na expressão:
12(3 - 2x) + C

Resposta

A integral de 1(3 - 2x)^2 em relação a x é:
12(3 - 2x) + C

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