integral 1(x-2)(x^2+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a integral . O que isso significa é que precisamos encontrar uma função que, quando derivada, nos dá . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração 1(x - 2)(x^2 +4) = Ax - 2 + Bx + Cx^2 +4 em frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando tudo por 1 = A(x^2 +4) + (Bx + C)(x -2) . Isso nos dá:

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
1 = A x^2 + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (-2B + C)x + (4A - 2C)

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de x, os coeficientes de A + B = 0 -2B + C = 0 4A - 2C = 1 , e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: 4(-B) - 2(2B) = 1 -4B -4B = 1 -8B = 1 B = -18
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  4. Então, e

Passo 7

Com os valores de A, B e C encontrados, nossa decomposição fica:
1(x -2)(x^2 +4) = 18x -2 + -18x - 14x^2 +4

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x -2)(x^2 +4) , dx = 18 integral 1x -2 , dx + integral -18x - 14x^2 +4 , dx

Passo 9

Vamos resolver as integrais:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
18 ln|x -2| - 116 ln|x^2 +4| - 18 arctan(x2) + C
Onde é a constante de integração.

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