Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a integral . O que isso significa é que precisamos encontrar uma função que, quando derivada, nos dá . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando tudo por . Isso nos dá:

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de x, os coeficientes de , e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Substituindo e na terceira equação:
  4. Então, e

Passo 7

Com os valores de A, B e C encontrados, nossa decomposição fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Vamos resolver as integrais:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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