Beleza, vamos lá! Temos a integral . O que isso significa é que precisamos encontrar uma função que, quando derivada, nos dá . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr a fração em frações menores. A ideia é escrever essa expressão como a soma de duas frações:
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos eliminar os denominadores multiplicando tudo por . Isso nos dá:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de x, os coeficientes de , e os termos constantes devem ser iguais nos dois lados. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: 4(-B) - 2(2B) = 1 -4B -4B = 1 -8B = 1 B = -18
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, e
Passo 7
Com os valores de A, B e C encontrados, nossa decomposição fica:
1(x -2)(x^2 +4) = 18x -2 + -18x - 14x^2 +4
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1(x -2)(x^2 +4) , dx = 18 integral 1x -2 , dx + integral -18x - 14x^2 +4 , dx