mostre que .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite . Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas como . Para resolver, vamos precisar usar substituição e fatoração.

Passo 2

Primeiro, observamos que é igual a 2, porque . Então, o limite fica assim:

Passo 3

Ao substituir diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador tornam-se 0:
Isso é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , o que implica que . Quando se aproxima de 8, se aproxima de 2, porque .

Passo 5

Substituindo por na expressão original, temos:

Passo 6

Agora, precisamos fatorar o numerador . Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:

Passo 7

Substituindo a fatoração na expressão do limite, fica:

Passo 8

Agora, podemos simplificar cancelando o termo no numerador e denominador:

Passo 9

Com a expressão simplificada, substituímos por 2:

Resposta

Portanto, .

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