mostre que
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o limite
. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas como
. Para resolver, vamos precisar usar substituição e fatoração.
Passo 2
Primeiro, observamos que
é igual a 2, porque
. Então, o limite fica assim:
Passo 3
Ao substituir
diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador tornam-se 0:
Isso é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, o que implica que
. Quando
se aproxima de 8,
se aproxima de 2, porque
.
Passo 5
Substituindo
por
na expressão original, temos:
Passo 6
Agora, precisamos fatorar o numerador
. Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 7
Substituindo a fatoração na expressão do limite, fica:
Passo 8
Agora, podemos simplificar cancelando o termo
no numerador e denominador:
Passo 9
Com a expressão simplificada, substituímos
por 2:
Resposta
Portanto,
.
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aplicando integração por partes.
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Escolha
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Calcule e
.
Calcule