mostre que lim x 8 x-8raiz[3]x-raiz[3]8=12.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o limite lim x 8 x-8raiz[3]x-raiz[3]8=12. Esse problema faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites que resultam em formas indeterminadas como 00. Para resolver, vamos precisar usar substituição e fatoração.

Passo 2

Primeiro, observamos que raiz[3]8 é igual a 2, porque 2^3 = 8. Então, o limite fica assim:
lim x 8 x-8raiz[3]x-2

Passo 3

Ao substituir x = 8 diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador tornam-se 0:
8-8raiz[3]8-2 = 00
Isso é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja y = raiz[3]x, o que implica que x = y^3. Quando x se aproxima de 8, y se aproxima de 2, porque raiz[3]8 = 2.

Passo 5

Substituindo x por y^3 na expressão original, temos:
lim y 2 y^3 - 8y - 2

Passo 6

Agora, precisamos fatorar o numerador y^3 - 8. Isso é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
y^3 - 8 = (y - 2)(y^2 + 2y + 4)

Passo 7

Substituindo a fatoração na expressão do limite, fica:
lim y 2 (y - 2)(y^2 + 2y + 4)y - 2

Passo 8

Agora, podemos simplificar cancelando o termo (y - 2) no numerador e denominador:
lim y 2 (y^2 + 2y + 4)

Passo 9

Com a expressão simplificada, substituímos y por 2:
2^2 + 2 cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

Portanto, lim x 8 x-8raiz[3]x-raiz[3]8 = 12.

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